3 Halle el valor máximo del entero positivo $n$ tal que existe un subconjunto de $S=\{1,2,...,2001\}$ con $n$ elementos, tal que la ecuación $y=2x$ no tiene soluciones en el conjunto $S \times S$

1 En un círculo hay puntos $A$ , $B$ y $C$ tales que dividen al círculo en la razón $3:5:7$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$

4 En el plano hay dos círculos con radios $r_1$ y $r_2$ , uno fuera del otro. Hay dos tangentes comunes externas a esos círculos y una tangente común interna. La interna interseca a las externas en los puntos $A$ y $B$ y es tangente a uno de los círculos en el punto $C$ . Demuestre que $AC \cdot BC=r_1\cdot r_2$

5 Sea $n$ un entero positivo, $n \geq 1$ , y $x_1,x_2,...,x_n$ números reales positivos tales que $x_1+x_2+...+x_n=1$ . ¿Se cumple la siguiente desigualdad $$\sum_{i=1}^{n} {\frac{x_i}{1-x_1\cdot...\cdot x_{i-1} \cdot x_{i+1} \cdot ... x_n}} \leq \frac{1}{1-\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}} $$

6 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que la ecuación $(x+y+z)^3=n^2xyz$ tiene una solución $(x,y,z)$ en el conjunto $\mathbb{N}^3$

1 Halle las raíces reales $x_1$ , $x_2$ de la ecuación $x^5-55x+21=0$ , si sabemos que $x_1\cdot x_2=1$

2 Sea $S$ un punto interior del triángulo $ABC$ y sean las rectas $AS$ , $BS$ y $CS$ que intersecan a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente. Demuestre que $$\frac{BX\cdot CX}{AX^2}+\frac{CY\cdot AY}{BY^2}+\frac{AZ\cdot BZ}{CZ^2}=\frac{R}{r}-1$$ si y solo si $S$ es el incentro de $ABC$

3 Llamamos terna pitagórica a una terna $(x,y,z)$ de enteros positivos tal que $x<y<z$ y $x^2+y^2=z^2$ . Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$ el número $2^{n+1}$ está en exactamente $n$ ternas pitagóricas

4 Demuestre que para todos los reales positivos $a$ , $b$ y $c$ se cumple: $$ \frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab} \leq 1 \leq \frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$$

5 Sea $T_m$ el número de triángulos no congruentes cuyo perímetro es $m$ y cuyos lados son todos enteros positivos. Demuestre que: $a)$ $T_{1999} > T_{2000}$ $b)$ $T_{4n+1}=T_{4n-2}+n$ , $(n \in \mathbb{N})$