20 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestra que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ . (Problema 6 de la IMO) Formulación Original Sea $f(x) = x^2 + x + p$ , $p \in \mathbb N.$ Demuestra que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

21 En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $N$. Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la IMO) Propuesto por la Unión Soviética. Amir

¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tal que $f(f(n)) = n + 1987$ para todo número natural $n$? (Problema 4 de la IMO) Propuesto por Vietnam. Amir

23 Demuestra que para todo número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para todo número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más fácil: Encuentra $r$ como raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros. Propuesto por Yugoslavia. Amir

1 Sean $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La mediatriz de $AB$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la mediatriz de $AC$ la corta en $Y$. Demuestra que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC = XY$ (o en otras palabras: demuestra que una condición suficiente para que $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Muestra que esta condición no es necesaria, y da una condición necesaria y suficiente para que $BC = XY$.

2 Define los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \] Demuestra que \[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

3 Demuestra que la ecuación \[ x^n + 1 = y^{n+1}, \] donde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son primos relativos.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos lados $AD$ y $BC$ no son paralelos. Supón que los círculos con diámetros $AB$ y $CD$ se cortan en los puntos $E$ y $F$ dentro del cuadrilátero. Sea $\omega_E$ el círculo que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde $E$ a las rectas $AB, BC$ y $CD$. Sea $\omega_F$ el círculo que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde $F$ a las rectas $CD, DA$ y $AB$. Demuestra que el punto medio del segmento $EF$ se encuentra sobre la recta que pasa por las dos intersecciones de $\omega_E$ y $\omega_F$. Propuesto por Carlos Yuzo Shine, Brasil

1 Sean $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La mediatriz de $AB$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la mediatriz de $AC$ la corta en $Y$. Demuestra que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC = XY$ (o en otras palabras: demuestra que una condición suficiente para que $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Muestra que esta condición no es necesaria, y da una condición necesaria y suficiente para que $BC = XY$.

2 Define los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \] Demuestra que \[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]