5 Dos enteros positivos son coprimos si su máximo común divisor es $1$ . Sea $C$ el conjunto de todos los divisores del número $8775$ que son mayores que $ 1$ . Un conjunto de $k$ enteros positivos consecutivos satisface que cada uno de ellos es coprimo con algún elemento de $C$ . Determine el mayor valor posible de $K$ .

6 Halle todos los primos $p$ tales que $p^2- p + 1$ es un cubo perfecto.

. Calcule el valor $\frac{1^{4}+2009^{4}+2010^{4}}{1^{2}+2009^{2}+2010^{2}}$ . P2. Un pentágono $ABCDE$ satisface $AB=BC=CD=DE, \angle B=96^{\circ}, \angle C=\angle D=108^{\circ}$ . Halle $\angle E$ . P3. Para el Año Nuevo, Ded Moroz les dio a los niños una caja de caramelos. Aizhan recibió el $70\%$ de todos los caramelos, Tanya recibió el $25\%$ y el resto fue para Marzhan. Luego Aizhan le dio $20$ caramelos a Marzhan, después de lo cual Tanya y Marzhan combinaron sus porciones y dividieron los caramelos en partes iguales. Después de eso, Aizhan tenía tres veces más caramelos que Marzhan. Al día siguiente, Ded Moroz les dio a cada niña $x$ caramelos más. Después de esto, Aizhan tenía el doble de caramelos que Marzhan. Halle $x$ . P4. Si el número $2^{m}+3^{n}$ es divisible por $5$ , demuestre que el número $2^{n}+3^{m}$ también es divisible por $5$ . P5. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ , respectivamente. Para cualquier punto $S$ del lado $BC$ , demuestre la desigualdad \[(MB-MS)\cdot(NC-NS)<0.\] P6. Un hongo se llama $\text{bad}$ si contiene al menos $10$ gusanos. En una cesta hay $90$ hongos malos y $10$ buenos. ¿Puede ocurrir que después de que algunos gusanos se arrastren de los hongos malos a los buenos, todos los hongos se vuelvan buenos?

5 Para números naturales $a$ y $b$ , un número racional de la forma $\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}$ se llama un número bueno. (i) Demuestre que cualquier número natural $n \ge 4$ puede expresarse como suma de números buenos. (ii) ¿Cuál es el menor número de números buenos que pueden sumarse para obtener $n = 57$ ?

. Un polinomio cuadrático $f(x)=ax^{2}+bx+c$ es tal que el polinomio $(f(x))^{3}-f(x)$ tiene exactamente tres raíces reales. Halle la coordenada $y$ del vértice de la parábola $y=f(x)$ . P2. En un paralelogramo $ABCD$ , el ángulo $\angle B$ es obtuso. La recta $AD$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ en un punto $E \neq A$ , y la recta $CD$ corta a $\omega$ en un punto $F \neq C$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ está sobre $\omega$ . P3. Un número natural $n>1$ es tal que la representación decimal del número $9997n$ consta solo de cifras impares. Halle el mínimo valor posible de $n$ . P4. Demuestre que $x\cos x\leqslant\frac{\pi^{2}}{16}$ para todo $x$ con $0 \leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$ . P5. Los números naturales $a, b, c$ satisfacen que los números $\frac{bc}{b+c}, \frac{ca}{c+a}, \frac{ab}{a+b}$ son enteros. Demuestre que $\gcd(a,b,c)>1$ . P6. Se dan dos conjuntos: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid3^{x}=x+2\}$ y $B=\{x\in\mathbb{R}\mid \log_{3}(x+2)+\log_{2}(3^{x}-x)=3^{x}-1\}$ . Demuestre que $A \subset B$ y que el conjunto $B$ contiene tanto números racionales como irracionales.

A2 Sean $a, b, c $ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestre que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

6 Un palíndromo es un número que es el mismo cuando sus dígitos se invierten. Encuentra todos los números que tienen al menos un múltiplo que sea un palíndromo.

2. ¿Es posible acomodar en un círculo todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \), de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos? Autor: L. Emelyanov, Tuymaada 2008, Liga Junior, Primer Día, Problema 2. Demuestra que todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \) pueden acomodarse en un círculo de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos.

51 Sean $a, b, c, d$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia y sea $S$ su área. Demuestre que $S \leq \sqrt{abcd}$ y halle las condiciones de igualdad. Amir

2 Se dan dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ y tangentes exteriores comunes $\ell_1$ y $\ell_2$ . La recta $\ell_1$ interseca a $\Gamma_1$ en $A$ y a $\Gamma_2$ en $B$ . Sea $X$ un punto del segmento $O_1O_2$ que no está sobre $\Gamma_1$ ni sobre $\Gamma_2$ . El segmento $AX$ interseca a $\Gamma_1$ en $Y \ne A$ y el segmento $BX$ interseca a $\Gamma_2$ en $Z \ne B$ . Demuestre que la recta por $Y$ tangente a $\Gamma_1$ y la recta por $Z$ tangente a $\Gamma_2$ se intersecan entre sí sobre $\ell_2$ .