6 (i) Vea la figura siguiente. Dos círculos $G_1,G_2$ se intersecan en los puntos $X,Y$ . Elija otros dos puntos $A,B$ sobre $G_1$ como se muestra en la figura. El segmento de recta de $A$ a $X$ se prolonga hasta intersecar a $G_2$ en el punto $L$ . El segmento de recta de $L$ a $Y$ se prolonga hasta cortar a $G_1$ en el punto $C$ . De igual manera, el segmento de recta de $B$ a $Y$ se prolonga hasta cortar a $G_2$ en el punto $M$ y el segmento de $M$ a $X$ se prolonga hasta cortar a $G_1$ en el punto $D$ . Demuestre que $AB$ es paralelo a $CD$ . (ii) Vea la figura siguiente. Se da un triángulo $CDE$ . Se elige un punto $A$ entre $D$ y $E$ . Se elige un punto $B$ entre $C$ y $E$ de modo que $AB$ sea paralelo a $CD$ . Sea $F$ el punto de intersección de los segmentos $AC$ y $BD$ . Demuestre que la recta que une $E$ y $F$ biseca tanto al segmento $AB$ como al segmento $CD$ . (Sugerencia: Puede usar el teorema de Ceva. Alternativamente, puede suponer además que el trapecio $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y proceder.) (iii) Usando las partes (i) y (ii) describa un procedimiento para realizar la siguiente tarea: dados dos círculos $G_1$ y $G_2$ que se intersecan en dos puntos $X$ y $Y$ determine el centro de cada círculo usando solamente una regla sin marcas. Nota: Recuerde que una regla sin marcas es una regla sin graduaciones. Dados dos puntos $A,B$ , una regla sin marcas permite construir el segmento de recta que une $A,B$ . Además, dados dos segmentos no paralelos cualesquiera, podemos usar una regla sin marcas para hallar el punto de intersección de las rectas que contienen a los dos segmentos, prolongándolos si es necesario.

$ p$\[ 13|p^3+1\]

. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P2. Halle todos los pares de números naturales $(m,n)$ que satisfacen la siguiente condición: la suma de los primeros $m$ números naturales impares excede en $n$ a la suma de los primeros $212$ números naturales pares. P3. Sea $[u]$ la parte entera de un número real $u$ , es decir, el mayor entero que no excede a $u$ . Resuelva en números reales la ecuación \[\left[x+\frac{1}{6}\right]+\left[x+\frac{3}{6}\right]+\left[x+\frac{5}{6}\right]=[x]+\left[x+\frac{2}{6}\right]+\left[x+\frac{4}{6}\right]\] . P4. ¿Existen números reales $a, b, c$ distintos por pares tales que $(a-b)^{5}+(b-c)^{5}+(c-a)^{5}=0$ ? P5. Sobre los lados $AC$ y $AB$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen puntos $M$ y $N$ , respectivamente, tales que $\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}=2$ . Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ . Demuestre que $\angle APC=90^{\circ}$ . P6. En un tablero están escritos los números $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}$ . Cada minuto se realiza la siguiente operación: dos números $a$ y $b$ se borran y se reemplazan por el número $a+b+ab$ . Después de un tiempo solo queda un número en el tablero. ¿Cuál es este número?

. Se da un cuadrado $ABCD$ . Se eligen puntos $M$ y $N$ sobre los segmentos $AC$ y $BC$ , respectivamente, que no coinciden con los extremos, tales que $MN=MD$ . Halle la medida del ángulo $\angle MDN$ . P2. Los enteros coprimos $a$ y $b$ con $a>b$ satisfacen $\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}=\frac{73}{3}$ . Halle el valor de $a-b$ . P3. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P4. ¿Existe un número primo de la forma $k^{4}+{64}$ , donde $k$ es un entero? P5. La longitud de la altura $AD$ del triángulo $ABC$ es dos veces menor que la longitud del lado $BC$ . ¿Puede el ángulo $A$ ser obtuso? P6. ¿Para qué valores del parámetro $a$ el sistema $\left\{\begin{aligned} x+y+z &=a+1, \\ xy+yz+zx &=2a, \\ xyz &=a \end{aligned}\right.$ tiene una solución en números reales?

. Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6$ . Halle el valor de $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ . P2. Halle las dos últimas cifras del número $7^{2013}$ . P3. En una isla viven $7$ camaleones azules, $9$ verdes y $11$ rojos. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos cambian su color al tercero (azul y verde se vuelven rojos, etc.). ¿Es posible que en algún momento todos los camaleones se vuelvan del mismo color? P4. Halle todos los números naturales divisibles por $5$ y por $9$ que tienen exactamente $10$ divisores positivos (incluyendo $1$ y el propio número). P5. Resuelva en números reales la ecuación $\sqrt{x^{2}-8x+41}+\sqrt{y^{2}+6y+25}=9$ . P6. La longitud de la altura $AD$ del triángulo $ABC$ es dos veces menor que la longitud del lado $BC$ . ¿Puede el ángulo $A$ ser obtuso?

3 (a) Demuestre que hay exactamente $2$ números $a$ en $\{2,3,\ldots,9999\}$ para los cuales $a^2 - a$ es divisible por $10000$ . Halle estos valores de $a$ . (b) Sea $n$ un entero positivo. ¿Para cuántos números $a$ en $\{2,3,\ldots,n^2 - 1\}$ es $a^2 - a$ divisible por $n^2$ ? Exprese su respuesta adecuadamente en términos de $n$ y justifíquela.

4 Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable, donde $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales. Suponga que para todos los números reales $x$ y $y$ , la función $f$ satisface \[ f'(x) - f'(y) \le 3|x - y|. \] (a) Demuestre que para todo $x$ y $y$ , se debe tener \[ |f(x) - f(y) - f'(y)(x - y)| \le 1.5(x - y)^2. \] (b) Halle los valores máximo y mínimo posibles de $f''(x)$ bajo las condiciones dadas.

5 Para un entero arbitrario $n$ , sea $g(n)$ el MCD de $2n + 9$ y $6n^2 + 11n - 2$ . ¿Cuál es el mayor entero positivo que se puede obtener como valor de $g(n)$ ? Si $g(n)$ puede ser arbitrariamente grande, dígalo explícitamente y pruébelo.

6 Se le dan los siguientes elementos: un círculo, uno de sus diámetros $AB$ y un punto $X$ . (a) Usando solamente una regla sin marcas, muestre en la figura dada cómo trazar una recta perpendicular a $AB$ que pase por $X$ . No se otorgará crédito sin una justificación completa. (Recuerde que una regla sin marcas es una regla sin graduaciones. Dados dos puntos, una regla sin marcas se puede usar para trazar la recta que pasa por los puntos dados.) [asy] size(8cm); pair O = (0,0); real R = 4; // Circle draw(circle(O, R)); // Diameter AB pair A = (-R, 0); pair B = ( R, 0); draw(A--B); // Point X pair X = (-1, R + 1.5); dot(X); label("$X$", X, N); // Points A and B dot(A); dot(B); label("$A$", A, SW); label("$B$", B, SE); [/asy] (b) NO dibuje ninguno de sus trazos de esta parte en la figura dada. Reconsidere su procedimiento para ver si puede hacerse funcionar cuando el punto $X$ está en otra posición, p. ej., dentro del círculo o a la "izquierda/derecha'' del círculo. Especifique claramente todas las posiciones del punto $X$ para las cuales su procedimiento de la parte (a), o una pequeña extensión o variación del mismo, puede usarse para obtener la perpendicular a $AB$ que pasa por $X$ . Justifique su respuesta.

4 Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función tal que $f(0) = 0$ . Suponga que $|f(z) - f(w)| = |z - w|$ para todo $w \in \{0, 1, i\}$ y $z \in \mathbb{C}$ . Demuestre que $f(z) = \alpha z$ o $f(z) = \alpha \bar{z}$ para algún $\alpha \in \mathbb{C}$ con $|\alpha| = 1$ .