3: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Un círculo con diámetro $BC$ corta a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$, respectivamente. $M$ es el punto medio de $BC$ y $P$ es el punto de intersección de $AM$ con $EF$. $X$ es un punto arbitrario en el arco $EF$ e $Y$ es la segunda intersección de $XP$ con un círculo de diámetro $BC$. Demuestra que $ \measuredangle XAY=\measuredangle XYM $. Autor: Ali zo'alam, Irán.

4: Una recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo agudo $ABC$ ( $AC>AB$ ) en $A$ interseca con la extensión de $BC$ en $P$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . El punto $X$ está sobre $OP$ tal que $\measuredangle AXP=90^\circ$ . Los puntos $E$ y $F$ están sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente, y están en un mismo lado de la recta $OP$ tal que $ \measuredangle EXP=\measuredangle ACX $ y $\measuredangle FXO=\measuredangle ABX $ . $K$ , $L$ son los puntos de intersección de $EF$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestra que $OP$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $KLX$ . Autor: Mehdi E'tesami Fard , Irán

5: Dos puntos $P$ y $Q$ que yacen sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ y su distancia al punto medio de $BC$ es igual. Las perpendiculares desde $P$ y $Q$ a $BC$ intersecan a $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente. $M$ es el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_1$ y $H_2$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectivamente, demuestra que $ AM\perp H_1H_2 $. Autor: Mehdi E'tesami Fard, Irán

Demuestra que el número $\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ (que tiene 1997 unos y 1998 doses) es un cuadrado perfecto. Valentin

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ y $BC+DE=1$. Calcula el área del pentágono. Grecia

3 Encuentra todos los pares de enteros positivos \( (x,y) \) tales que \[ x^y = y^{x - y}. \] Albania Valentin

4 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alicia y Bob, juegan el siguiente juego: - Alicia elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alicia escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ de tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alicia con solo una suposición. ¿Puede Bob estar seguro de ganar en los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifica tu(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alicia puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

2008 TMO

Punto $O$ es el centro del círculo con cuerdas $AB$, $CD$, $EF$ de longitudes $2, 3, 4$ unidades, respectivamente, vistas desde el ángulo en el punto $O$ con ángulos $\alpha$, $\beta$, $\alpha + \beta$ respectivamente. Si $\alpha + \beta$ es menor que $180$ grados, encuentra la longitud del radio del círculo.

g2.1.2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^o$ y $\angle ABC = 60^o$. Se elige un punto $E$ sobre el lado $BC$ de modo que $BE : EC = 3 : 2$. Calcula $\cos\angle CAE$.