4 En las figuras, los vértices están marcados con un círculo. Los segmentos que unen vértices se llaman caminos. Se distribuyen enteros no negativos en los vértices y, en los caminos, las diferencias entre los números en sus extremos. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/6/e6fce93719a5b35dbf34d58652b01a8631de57.gif Diremos que una distribución de números es graciosa si todos los números del $1$ al $n$ aparecen en los caminos, donde $n$ es el número de caminos. El siguiente es un ejemplo de distribución graciosa: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/1/a8c2b4fde673ca902b655804c4f5321f9666e9.gif Da —si es posible— una distribución graciosa para las siguientes figuras. Si no puedes hacerlo, muestra por qué.

5 ¿Cuáles son las áreas posibles de un hexágono con todos los ángulos iguales y lados $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$, en algún orden?

3 En un tablero de $8 \times 8$, se han colocado $10$ fichas, cada una ocupando una casilla. En cada casilla sin ficha se escribe un número entre $0$ y $8$, que es igual al número de fichas colocadas en sus casillas vecinas. Las casillas vecinas son aquellas que comparten un lado o un vértice. Da una distribución de las fichas que haga que la suma de los números escritos en el tablero sea la mayor posible.

24 Sea \(N=10^{2024}\). \(S\) es un cuadrado en el plano cartesiano con lado de longitud \(N\) y lados paralelos a los ejes de coordenadas. Dentro hay \(N\) puntos \(P_1\), \(P_2\), \(\dots\), \(P_N\), todos con coordenadas \(x\) distintas, y el valor absoluto de la pendiente de cualquier recta que conecte dos de estos puntos es a lo más \(1\). Demuestra que existe una recta \(l\) tal que al menos \(2024\) de estos puntos están a distancia a lo más \(1\) de \(l\).

G4 Halle el máximo entero positivo $n$ para el cual existen puntos distintos $A_1$ , $A_2$ , $\dots$ , $A_{2025}$ , $B_1$ , $B_2$ , $\dots$ , $B_n$ en el plano tales que para $i=1,2,\dots,n$ , los multiconjuntos $\{B_iA_1,B_iA_2,\dots,B_iA_{2025}\}$ sean los mismos. Tiger Zhang

4 Joaquín y su hermano Andrés van a clase todos los días en el bus $62$. Joaquín siempre paga los boletos. Cada boleto tiene un número de $5$ dígitos impreso. Un día, Joaquín observa que los números de sus boletos — el suyo y el de su hermano — además de ser consecutivos, son tales que la suma de los diez dígitos es precisamente $62$. Andrés le pregunta si la suma de los dígitos de alguno de los boletos es $35$ y, sabiendo la respuesta, puede decir directamente el número de cada boleto. ¿Cuáles eran esos números?

Tres niños, todos de alturas distintas, deben formarse en una fila ordenada de menor a mayor. Diremos que la fila tiene exactamente un error si hay un niño que está inmediatamente detrás de otro más alto que él, y todos los demás (excepto el primero de la fila) están inmediatamente detrás de uno más bajo. ¿De cuántas maneras pueden alinearse los ocho niños con exactamente un error?

4 Alex y Bruno juegan el siguiente juego. Empezando con una cadena vacía, los jugadores escriben alternadamente exactamente un dígito al extremo derecho del número actual. Los dígitos no pueden repetirse. El juego termina cuando se ha formado un número de $6$ dígitos con todos los dígitos distintos. Alex comienza el juego. Bruno gana si el número final es primo; de lo contrario, gana Alex. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

5 En el triángulo \(ABC\) tenemos \(\angle A = 2\cdot \angle C \text{ y } 2\cdot \angle B = \angle A + \angle C\). La bisectriz del ángulo \(C\) corta a \(AB\) en \(E\), y \(F\) es el punto medio de \(AE\). Sea \(AD\) la altura del triángulo \(ABC\). La mediatriz de \(DF\) corta a \(AC\) en \(M\). Demuestra que \(AM = CM\).

2 Sea $X= a1b9$ y $Y ab = 51ab$ dos enteros positivos donde $a$ y $b$ son dígitos. Se sabe que $X$ es múltiplo de un número positivo de dos dígitos $n$ y $Y$ es el siguiente múltiplo de ese número $n$. Encuentra el número $n$ y los dígitos $a$ y $b$. Justifica por qué no hay otras posibilidades.