5 Halle todos los enteros positivos n para los cuales puede encontrarse una permutación $a_1,a_2, . . . ,a_n$ de { $1, 2, . . . , n$ } tal que $$0,a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3, . . .,a_1+a_2+. . .+a_n$$ dejen residuos distintos módulo $n+1$ .

4 Halle los números reales $x, y, z$ tales que, $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}, \frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}, \frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}.$$

2 Sea $m$ un entero positivo para el cual existe un entero positivo $n$ tal que el producto $mn$ es un cuadrado perfecto y $m- n$ es primo. Halle todos los $m$ para $1000\leq m \leq 2021.$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo tal que $\angle ABC=60^{\circ}.$ a) Demuestre que si $BC=CD$ entonces $AB= CD+DA.$ b) ¿Es cierto que si $AB= CD+DA$ entonces $BC=CD$ ?

1 Una sucesión infinita de cifras $1$ y $2$ está determinada por las dos propiedades siguientes: i) La sucesión se construye escribiendo, en algún orden, bloques $12$ y bloques $112.$ ii) Si cada bloque $12$ se reemplaza por $1$ y cada bloque $112$ por $2$ , se obtiene nuevamente la misma sucesión. ¿En qué posición se encuentra la centésima cifra $1$ ? ¿Cuál es la milésima cifra de la sucesión?

6 Decimos que un entero positivo $k$ es tricúbico si existen tres enteros positivos $a, b, c,$ no necesariamente distintos, tales que $k=a^3+b^3+c^3.$ a) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: exactamente uno de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ es tricúbico. b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: exactamente dos de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos. c) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la condición siguiente: los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos.

2 Dos circunferencias \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) con radios distintos se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) . Sean \(C\) y \(D\) puntos de \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) , respectivamente, tales que \(A\) es el punto medio del segmento \(CD\) . La recta \(DB\) corta a \(\Gamma_1\) nuevamente en \(E\) , con \(B\) situado entre \(D\) y \(E\) ; la recta \(CB\) corta a \(\Gamma_2\) nuevamente en \(F\) , con \(B\) situado entre \(C\) y \(F\) . Sean \(\ell_1\) y \(\ell_2\) las mediatrices de \(CD\) y \(EF\) , respectivamente. Se sabe que \(\ell_1\) y \(\ell_2\) se intersecan en un punto único \(P\) . Demuestre que las longitudes \(CA\) , \(AP\) y \(PE\) forman los lados de un triángulo rectángulo.

3 Juli y Mica juegan al siguiente juego. Juli elige \(100\) números reales no negativos \(x_1,x_2,\ldots,x_{100}\) , no necesariamente distintos, cuya suma es igual a \(1\) , y le comunica estos números a Mica. Mica agrupa entonces los números en \(50\) pares de su elección, calcula el producto de los dos números de cada par y escribe en la pizarra el mayor de estos \(50\) productos. Juli quiere que el número escrito en la pizarra sea lo más grande posible, mientras que Mica quiere que sea lo más pequeño posible. ¿Qué número se escribirá en la pizarra si ambas juegan de manera óptima?

5 La sucesión $a_n (n\geq 1)$ de números naturales se define como $a_{n+1}=a_n+b_n,$ , donde $b_n$ es el número que tiene las mismas cifras que $a_n$ pero en orden inverso ( $b_n$ puede empezar con $0$ ) . Por ejemplo, si $a_1=180,$ , entonces $a_2=261, a_3=423.$ a) Decida si $a_1$ puede elegirse de modo que $a_7$ sea primo. b) Decida si $a_1$ puede elegirse de modo que $a_5$ sea primo.

4 Una disposición en cruz es una ordenación de las nueve cifras \(1,2,\ldots,9\) que forma una figura en forma de \(X\) , como en el siguiente ejemplo: \[ \begin{matrix} 1 & & & & 2 \\ & 3 & & 4 & \\ & & 5 & & \\ & 6 & & 7 & \\ 8 & & & & 9 \end{matrix} \] Decimos que una disposición en cruz es equilibrada si las sumas de los cinco números de cada diagonal son iguales. El ejemplo anterior es equilibrado porque \[ 1+3+5+7+9 = 2+4+5+6+8. \] Determine cuántas disposiciones en cruz equilibradas existen.