Un círculo grande está inscrito en un rombo, y cada uno de dos círculos más pequeños toca dos lados del rombo y al círculo grande como se muestra en la figura de la derecha. Demuestre que las cuatro líneas discontinuas que unen los puntos donde los círculos tocan al rombo, como se muestra en la figura, forman un cuadrado.

7 Demuestre que para $ \forall n > 1, n \in \mathbb{N}$ la ecuación \[ \sum^n_{k=1} \frac{x^k}{k!} + 1 = 0\] no tiene raíces racionales.

8 Halle las raíces $ r_i \in \mathbb{R}$ del polinomio \[ p(x) = x^n + n \cdot x^{n-1} + a_2 \cdot x^{n-2} + \ldots + a_n\] que satisfacen \[ \sum^{16}_{k=1} r^{16}_k = n.\]

9 Sea $ m$ un entero positivo y defínase $ f(m)$ como el número de factores de $ 2$ en $ m!$ (es decir, el mayor entero positivo $ k$ tal que $ 2^k|m!$ ). Demuestre que hay infinitos enteros positivos $ m$ tales que $ m - f(m) = 1989.$

4 Alí Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana sobre el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Él sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos almacenes tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies, respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra?

3 Alí Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana sobre el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

6 Los círculos $ c_1$ y $ c_2$ son tangentes en el punto $ A.$ Una recta $ l$ que pasa por $ A$ interseca a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ C_1$ y $ C_2$ respectivamente. Un círculo $ c,$ que contiene a $ C_1$ y $ C_2,$ corta a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ B_1$ y $ B_2$ respectivamente. Sea $ \omega$ el círculo circunscrito al triángulo $ AB_1B_2.$ El círculo $ k$ tangente a $ \omega$ en el punto $ A$ corta a $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ D_1$ y $ D_2$ respectivamente. Demuestre que (a) los puntos $ C_1,C_2,D_1,D_2$ son concíclicos o colineales, (b) los puntos $ B_1,B_2,D_1,D_2$ son concíclicos si y solo si $ AC_1$ y $ AC_2$ son diámetros de $ c_1$ y $ c_2.$

. Cincuenta bolas están numeradas con los enteros del $1$ al $50$ . (a) ¿Es posible distribuirlas en $10$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? (b) ¿Es posible distribuirlas en $9$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? P2. ¿Es verdad que cualquier paralelogramo puede cortarse en dos piezas de modo que con estas dos piezas pueda formarse un triángulo? P3. (a) Resuelva la ecuación $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ en enteros $x,y$ . (b) ¿Es posible resolver la ecuación $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ en enteros $x,y$ ?

Turbo el caracol está en la esquina inferior izquierda de un tablero de ${}n\times n$ , $n\ge 2$ , y quiere llegar a la esquina superior derecha moviéndose una celda hacia arriba o hacia la derecha en cada paso. Algunas celdas contienen monstruos, visibles para Turbo, y él necesita evitarlos a toda costa. Suponiendo que hay exactamente una forma en que Turbo puede alcanzar su objetivo, determine el número mínimo de monstruos que puede tener el tablero (sobre todas las configuraciones de monstruos que satisfacen la condición de unicidad). Miquel-point

4 Una figura en forma de L compuesta por $4$ cuadrados unitarios (como la que se muestra en la imagen) la llamamos L-dominós. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/2/064b7c7de496f981cd937cbb7392efc1066420.png Determina el número máximo de L-dominós que se pueden colocar en un tablero de dimensiones $n \times n$, donde $n$ es un número natural, de modo que no haya dos dominós que se superpongan y sea posible llegar desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha del tablero moviéndose únicamente por aquellos cuadrados que no están cubiertos por los dominós. (Al moverte, pasas de un cuadrado a un cuadrado vecino, es decir, al cuadrado con el que comparte un lado). Nota: Los L-dominós pueden rotarse y también voltearse, dando una figura simétrica respecto a un eje comparada con la que se muestra en la imagen.