G5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$ . Sea $L$ un punto de $\omega$ tal que $AL$ es paralelo a $BC$ . Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersecan en $S$ . La recta $LS$ interseca a $\omega$ en $K$ . Demuestre que $\angle BKP = \angle CKQ$ . Propuesto por Ervin Macić, Bosnia y Herzegovina

4 Sean $x, y, z > -1$ . Demuestre que \[ \frac{1+x^2}{1+y+z^2} + \frac{1+y^2}{1+z+x^2} + \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. \] Laurentiu Panaitopol Iris

3 Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen a los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. La recta $DE$ interseca a $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . La recta $FD$ interseca a $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ . a) Halle los ángulos del triángulo $DMN$ ; b) Demuestre que si $P$ es el punto de intersección de las rectas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ . Iris

7 Considere un rectángulo cuyas longitudes de lados son números naturales. Si alguien coloca la mayor cantidad posible de cuadrados, cada uno de área $3$ , dentro del rectángulo dado, de modo que los lados de los cuadrados sean paralelos a los lados del rectángulo, entonces el número máximo de estos cuadrados llena exactamente la mitad del área del rectángulo. Determine las dimensiones de todos los rectángulos con esta propiedad.

8 Determine los polígonos de $n$ lados $(n \ge 4)$ , no necesariamente convexos, que satisfacen la propiedad de que la reflexión de cada vértice del polígono con respecto a cada diagonal del polígono no cae fuera del polígono. Nota: Todo segmento que une dos vértices no vecinos del polígono es una diagonal. La reflexión se considera con respecto a la recta soporte de la diagonal.

9 Decida si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tales que la distancia entre cada dos de estos puntos sea distinta de $1$ y cada circunferencia unitaria centrada en uno de estos puntos deje exactamente $1005$ puntos fuera de la circunferencia.

Un punto $P$ está en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ tal que $AP=15$ y $BP=8$ . Halle el máximo valor posible de la suma de las áreas de los triángulos $ABP$ y $BCP$ .

En el jardín de infantes hay 32 niños y tres clases: Judo, Agricultura y Matemáticas. Cada niño está exactamente en una clase y cada clase tiene al menos un participante. Un día, la maestra reunió a 6 niños para limpiar el salón. La maestra contó y encontró que exactamente 1/2 de los estudiantes de Judo, 1/4 de los estudiantes de Agricultura y 1/8 de los estudiantes de Matemáticas están limpiando. ¿Cuántos niños hay en cada clase?

2 Tenemos una cuadrícula cuadrada de 5x5, dividida en casillas de 1x1. Dos casillas se llaman vinculadas si están en la misma fila o columna, y la distancia entre sus centros es 2 o 3. Por ejemplo, en la imagen las casillas grises son las vinculadas a la casilla roja. https://i.imgur.com/JVTQ9wB.png Sammy quiere marcar tantas casillas de la cuadrícula como sea posible, de modo que no haya dos de ellas vinculadas. ¿Cuál es el número máximo de casillas que puede marcar?

Considere una cuadrícula con $n{}$ filas y $m{}$ columnas $(n,m\in\mathbb{N},m,n\ge2)$ formada por $n\cdot m \; 1\times1$ cuadrados llamados ${células}$ . Una ${serpiente}$ es una sucesión de celdas con las siguientes propiedades: la primera celda está en la primera fila de la cuadrícula y la última celda está en la última fila de la cuadrícula; a partir de la segunda celda, cada una tiene un lado común con la celda anterior y no está por encima de la celda anterior. Defina la ${longitud}$ de una serpiente como el número de celdas que la componen. Halle la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes de la cuadrícula.