11 Sea $S \subset [0, 1]$ un conjunto de 5 puntos con $\{0, 1\} \subset S$ . La gráfica de una función real $f : [0, 1] \to [0, 1]$ es continua y creciente, y es lineal en todo subintervalo $I$ de $[0, 1]$ tal que los extremos pero ningún punto interior de $I$ están en $S$ . Queremos calcular, usando una computadora, los valores extremos de $g(x, t) = \frac{f(x+t)-f(x)}{ f(x)-f(x-t)}$ para $x - t, x + t \in [0, 1]$ . ¿En cuántos puntos $(x, t)$ es necesario calcular $g(x, t)$ con la computadora? Amir

12 ¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $ n $ es igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos? Propuesto por Finlandia. Amir

13 Sea $A$ un conjunto infinito de enteros positivos tal que todo $n \in A$ es el producto de a lo sumo $1987$ números primos. Demuestre que existe un conjunto infinito $B \subset A$ y un número $p$ tales que el máximo común divisor de cualesquiera dos números distintos en $B$ es $p.$ Amir

G4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, en el cual $B$ y $C$ son ángulos agudos. $M$ y $N$ son las proyecciones del vértice $B$ sobre las rectas $AC$ y $AD$ , respectivamente; $P$ y $T$ son las proyecciones del vértice $D$ sobre las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente; $Q$ y $S$ son las intersecciones de los pares de rectas $MN$ y $CD$ , y $PT$ y $BC$ , respectivamente. Demuestre los siguientes enunciados: a) $NS \parallel PQ \parallel AC$ ; b) $NP=SQ$ ; c) $NPQS$ es un rectángulo si, y solo si, $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$ .

14 Dados $n$ números reales $0 < t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_n < 1$ , demuestre que \[(1-t_n^2) \left( \frac{t_1}{(1-t_1^2)^2}+\frac{t_2}{(1-t_2^3)^2}+\cdots +\frac{t_n}{(1-t_n^{n+1})^2} \right) < 1.\] Amir

16 Sea $ABC$ un triángulo. Para todo punto $M$ perteneciente al segmento $BC$ denotamos por $B'$ y $C'$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre las rectas $AC$ y $BC$ . Encuentre los puntos $M$ para los cuales la longitud del segmento $B'C'$ es mínima. Amir

17 Considere el número $\alpha$ obtenido escribiendo uno después de otro, a la derecha del punto decimal, las representaciones decimales de $1, 1987, 1987^2, \dots$ . Muestre que $\alpha$ es irracional. Amir

18 Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$ . Demuestre la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad? Propuesto por Francia. Amir

19 ¿Cuántas palabras de $n$ dígitos pueden formarse con el alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ , si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno? Propuesto por Alemania, FR. Amir

20 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$ . Demuestre que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , no todos nulos, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$ , y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$ . (Problema 3 de la IMO) Propuesto por Alemania, FR Amir