23 ¿Existe un número de $2n$ - dígitos $\overline{a_{2n}a_{2n-1}\cdots a_1}$ ( para un $n$ arbitrario ) para el cual se cumple la siguiente igualdad: \[\overline{a_{2n}\cdots a_1}= (\overline{a_n \cdots a_1})^2?\]

24 Las diagonales de un $18$ -ágono convexo están coloreadas con $5$ colores diferentes, apareciendo cada color en un número igual de diagonales. Las diagonales de un color están numeradas $1, 2,\cdots$ . Se elige aleatoriamente una quinta parte de todas las diagonales. Halle el número de posibilidades para las cuales, entre las diagonales elegidas, existen exactamente $n$ pares de diagonales del mismo color y con índices fijos $i, j$ .

25 Consideramos $n$ variables reales $x_i(1 \le i \le n)$ , donde $n$ es un entero y $n \ge 2$ . El producto de estas variables se denotará por $p$ , su suma por $s$ , y la suma de sus cuadrados por $S$ . Además, sea $\alpha$ una constante positiva. Estudiamos ahora la desigualdad $ps \le S\alpha$ . Demuestre que se cumple para toda $n$ -ada $(x_i)$ si y solo si $\alpha=\frac{n+1}{2}$

26 Halle todas las soluciones reales positivas de: \begin{eqnarray*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\ \end{eqnarray*}

27 Dado $n>4$ , demuestre que todo cuadrilátero cíclico puede ser disectado en $n$ cuadriláteros cíclicos.

28 Se sabe que las longitudes de los lados de un rectángulo son enteros impares. Demuestre que no existe un punto dentro de ese rectángulo que tenga distancias enteras a cada uno de sus cuatro vértices.

29 Sean $A,B,C$ puntos sobre los lados $B_1C_1, C_1A_1,A_1B_1$ de un triángulo $A_1B_1C_1$ tales que $A_1A,B_1B,C_1C$ son las bisectrices de los ángulos del triángulo. Tenemos que $AC = BC$ y $A_1C_1 \neq B_1C_1.$ $(a)$ Demuestre que $C_1$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . $(b)$ Suponga que $\angle BAC_1 =\frac{\pi}{6};$ determine la forma del triángulo $ABC$ .

30 Considere una sucesión de circunferencias $K_1,K_2,K_3,K_4, \ldots$ de radios $r_1, r_2, r_3, r_4, \ldots$ , respectivamente, situadas dentro de un triángulo $ABC$ . La circunferencia $K_1$ es tangente a $AB$ y $AC$ ; $K_2$ es tangente a $K_1$ , $BA$ , y $BC$ ; $K_3$ es tangente a $K_2$ , $CA$ , y $CB$ ; $K_4$ es tangente a $K_3$ , $AB$ , y $AC$ ; etc. (a) Demuestre la relación \[r_1 \cot \frac 12 A+ 2 \sqrt{r_1r_2} + r_2 \cot \frac 12 B = r \left(\cot \frac 12 A + \cot \frac 12 B \right) \] donde $r$ es el radio de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Deduzca la existencia de un $t_1$ tal que \[r_1=r \cot \frac 12 B \cot \frac 12 C \sin^2 t_1\] (b) Demuestre que la sucesión de circunferencias $K_1,K_2, \ldots $ es periódica. Amir

31 Halle los valores de $n\in \mathbb{N}$ para los cuales la fracción $\frac{3^n-2}{2^n-3}$ es reducible.

32 Si $n_1, n_2, \cdots, n_k$ son números naturales y $n_1+n_2+\cdots+n_k = n$ , demuestre que \[max(n_1n_2\cdots n_k)=(t + 1)^rt^{k-r},\] donde $t =\left[\frac{n}{k}\right]$ y $r$ es el resto de dividir $n$ entre $k$ ; es decir, $n = tk + r, 0 \le r \le k- 1$ .