5 Sea $M$ el punto medio del cateto $AC$ de un triángulo rectángulo $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$. La perpendicular desde $M$ a la bisectriz del ángulo $ABC$ corta a $AB$ en el punto $N$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $ANM$ es tangente a la bisectriz del ángulo $ABC$. Propuesto por: D. Shvetsov

9 La recta $l$ que pasa por el ortocentro $H$ de un triángulo $ABC$ $(BC>AB)$ y es paralela a $AC$ corta a $AB$ y $BC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. La recta que pasa por el circuncentro del triángulo y es paralela a la mediana $BM$ corta a $l$ en el punto $F$. Demuestra que la longitud del segmento $HF$ es tres veces mayor que la diferencia de $FE$ y $DH$. Propuesto por: A. Mardanov, K. Mardanova

10 Un triángulo acutángulo con un lado igual a la altura desde el vértice opuesto se corta de papel. Construye un punto dentro de este triángulo tal que el cuadrado de la distancia desde él a uno de los vértices sea igual a la suma de los cuadrados de las distancias a los otros dos vértices. No hay instrumentos disponibles, solo se permite doblar el papel y marcar los puntos comunes de las líneas de doblez. Propuesto por: M. Evdokimov

13. Cada par de lados opuestos de un $2n$-ágono convexo son paralelos. (Dos lados son opuestos si, al recorrer el borde del $2n$-ágono de un lado a otro, se pasan $n-1$ lados intermedios.) Un par de lados opuestos se llama regular si existe una perpendicular común a ellos tal que sus extremos se encuentran sobre los lados y no sobre sus prolongaciones. ¿Cuál es el número mínimo posible de pares regulares? Propuesto por: B. Frenkin

15 Un punto $C$ yace sobre la bisectriz de un ángulo agudo con vértice $S$. Sean $P$, $Q$ las proyecciones de $C$ sobre los lados del ángulo. El círculo con centro en $C$ y radio $PQ$ corta a los lados en los puntos $A$ y $B$ tales que $SA \ne SB$. Demuestra que el círculo con centro en $A$ tangente a $SB$ y el círculo con centro en $B$ tangente a $SA$ son tangentes entre sí. Propuesto por: A. Zaslavsky

16 El punto de Feuerbach de un triángulo escaleno se encuentra sobre una de sus bisectrices. Demuestra que biseca el segmento entre el vértice correspondiente y el incentro. Propuesto por: A. Zaslavsky

17 Sean $O$, $I$ el circuncentro y el incentro de un triángulo acutángulo escaleno $ABC$; sean $D$, $E$, $F$ los puntos de tangencia de su excírculo con el lado $BC$ y con las prolongaciones de $AC$, $AB$ respectivamente. Demuestra que si el ortocentro del triángulo $DEF$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$, entonces es simétrico al punto medio del arco $BC$ con respecto a $OI$. Propuesto por: P. Puchkov, E. Utkin

18 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que las excircunferencias $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ de los triángulos $ABC$ y $BCD$, que tocan sus lados $AB$ y $BD$ respectivamente, tocan la extensión de $BC$ en el mismo punto $P$. El segmento $AD$ corta a $\omega_{2}$ en el punto $Q$, y la recta $AD$ corta a $\omega_{1}$ en $R$ y $S$. Demuestra que uno de los ángulos $RPQ$ y $SPQ$ es recto. Propuesto por: I. Kukharchuk

19 Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$; $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ los ortocentros de los triángulos $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_{a}$, $M_{b}$, $M_{c}$ los puntos medios de $BC$, $CA$, $AB$, y $S_{a}$, $S_{b}$, $S_{c}$ los puntos medios de $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$. Demuestra que $M_{a}S_{a}$, $M_{b}S_{b}$, $M_{c}S_{c}$ concurren. Propuesto por: S Kuznetsov

20 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo $ABC$, y sean $M$, $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$, $AH$ respectivamente. La perpendicular desde $N$ a $MH$ corta a $BC$ en el punto $A^{\prime}$. Los puntos $B^{\prime}$ y $C^{\prime}$ se definen de manera similar. Demuestra que $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ son colineales. Propuesto por: F. Ivlev