5 En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo $BAC$ interseca a $BC$ en $D$ . El círculo $\Gamma$ que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en $D$ corta de nuevo a $AC$ en $M$ . La recta $BM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $P$ . Demuestre que la recta $AP$ es una mediana del $\triangle ABD.$ Amir

6 Para cualesquiera dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c\left(n,0\right)=c\left(n,n\right)=1$ para todo $n\geq 0$ ; - $c\left(n+1,k\right)=2^{k}c\left(n,k\right)+c\left(n,k-1\right)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demuestre que $c\left(n,k\right)=c\left(n,n-k\right)$ para todo $n\geq k\geq 0$ .

1 Halle todas las funciones estrictamente crecientes $f$ tales que, para todo $x\in \mathbb R$ , \[f(1-x)=1-f(f(x)).\] Amir

2 Demuestre que, para cualquier triángulo $ABC$ , se tiene \[\sin\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{C}{2}\right) \leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\] Amir.S

3 Hay $30$ bolsas y en cada bolsa hay $100$ monedas similares (las monedas de cada bolsa son similares; las monedas de bolsas distintas pueden ser diferentes). El peso de cada moneda es un número de una cifra, en gramos. Disponemos de una balanza digital que puede pesar a lo sumo $999$ gramos en cada pesada. Usando esta balanza, queremos determinar el peso de las monedas de cada bolsa. (a) Demuestre que esta operación es posible con $10$ pesadas, y (b) que no es posible con $9$ pesadas. Amir

1 Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Existen enteros $a$ y $b$ tales que $P(a) \cdot P(b)=-(a-b)^2$ . Demuestre que $P(a)+P(b)=0$ . Amir

3 Sean $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ $n$ números reales tales que $a_1^k +a_2^k + \cdots + a_n^k \geq 0$ para todo entero positivo $k$ . Suponga que $p=\max\{|a_1|,|a_2|, \ldots,|a_n|\}$ . Demuestre que $p=a_1$ y que \[(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\leq x^n-a_1^n \qquad \forall x>a_1.\] Amir

3 Halle todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que, para todos $x, y,$ \[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.\] Amir

2 Sean $ABC$ y $XYZ$ dos triángulos. Defina \[A_1=BC\cap ZX, A_2=BC\cap XY,\] \[B_1=CA\cap XY, B_2=CA\cap YZ,\] \[C_1=AB\cap YZ, C_2=AB\cap ZX.\] Aquí, la abreviación $g\cap h$ denota el punto de intersección de dos rectas $g$ y $h$ . Demuestre que $\frac{C_1C_2}{AB}=\frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}$ se cumple si y solo si $\frac{A_1C_2}{XZ}=\frac{C_1B_2}{ZY}=\frac{B_1A_2}{YX}$ . sam-n

3 Sea $d$ un número real tal que $d^2=r^2+s^2$ , donde $r$ y $s$ son números racionales. Demuestre que podemos colorear todos los puntos del plano de coordenadas racionales con dos colores diferentes, de modo que los puntos a distancia $d$ tengan colores distintos. Amir