2 Halle todas las ternas ordenadas $ (x, y, z)$ de números reales tales que \[ 5 \left(x + \frac{1}{x} \right) = 12 \left(y + \frac{1}{y} \right) = 13 \left(z + \frac{1}{z} \right),\] y \[ xy + yz + zy = 1.\]

5 Halle todas las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen $f (0)=2022$ y $f (x+g(y)) =xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ .

4 Se da un triángulo $ABC$ y sea $D$ el punto medio del arco mayor $BAC$ de su circunferencia circunscrita. Sean $M , N$ los puntos medios de $AB , AC$ y $J , E , F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita $(I)$ de $\triangle ABC$ con $BC, CA, AB$ . La recta $MN$ corta a $JE , JF$ en $K , H$ respectivamente; $IJ$ corta a la circunferencia $(BIC)$ en $G$ y $DG$ corta a $(BIC)$ en $T$ . a) Demuestre que $JA$ pasa por el punto medio de $HK$ y es perpendicular a $IT$ . b) Sean $R, S$ las proyecciones perpendiculares de $D$ sobre $AB, AC$ , respectivamente. Tome los puntos $P, Q$ en $IF , IE$ respectivamente, tales que $KP$ y $HQ$ son ambos perpendiculares a $MN$ . Demuestre que las tres rectas $MP , NQ$ y $RS$ son concurrentes .

7 Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Halle una expresión explícita para $f(n).$ Versión simplificada. Muestre que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right].$ Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$ Amir

8 Se da un tetraedro $ABCD$ tal que $AD = BC = a; AC = BD = b; AB\cdot CD = c^2$. Sea $f(P) = AP + BP + CP + DP$, donde $P$ es un punto arbitrario del espacio. Calcule el menor valor de $f(P).$ Amir

11 Demuestre que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo llano si y solo si las caras son triángulos congruentes. Amir

4 Martu quiere construir un conjunto de cartas con las siguientes propiedades: • Cada carta tiene un entero positivo. • El número en cada carta es igual a uno de $5$ números posibles. • Si se toman dos cartas cualesquiera y se suman, siempre es posible encontrar otras dos cartas en el conjunto tales que la suma sea la misma. Determina el menor número de cartas que puede tener el conjunto de Martu y da un ejemplo para ese número.

9 En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 100^{\circ}, AB = AC$. Se elige un punto $D$ sobre el lado $AC$ tal que $\angle ABD = \angle CBD$. Demuestre que $AD + DB = BC.$ Amir

13 Sea $N = \{1, 2, \ldots, n\}$, $n \geq 3$. A cada par $i \neq j $ de elementos de $N$ se le asigna un número $f_{ij} \in \{0, 1\}$ tal que $f_{ij} + f_{ji} = 1$. Sea $r(i)=\sum_{i \neq j} f_{ij}$, y escriba $M = \max_{i\in N} r(i)$, $m = \min_{i\in N} r(i)$. Demuestre que para cualquier $w \in N$ con $r(w) = m$ existen $u, v \in N$ tales que $r(u) = M$ y $f_{uv}f_{vw} = 1$. Amir

12 Sea $O$ un punto interior de un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Sean $ S_1, S_2, S_3, S_4$ esferas con centros $A_1,A_2,A_3,A_4$, respectivamente, y sean $U, V$ esferas con centros en $O$. Suponga que para $i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j$, las esferas $S_i$ y $S_j$ son tangentes entre sí en un punto $B_{ij}$ situado sobre $A_iA_j$. Suponga además que $U $ es tangente a todas las aristas $A_iA_j$ y que $V$ es tangente a las esferas $ S_1, S_2, S_3, S_4$. Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un tetraedro regular. Amir