2 Para un número compuesto $n$ , sea $d_n$ su mayor divisor propio. Demuestre que hay infinitos $n$ para los cuales $d_n +d_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

3 Cada casilla de un tablero $3\times 3$ se colorea de rojo o de azul. Halle el número de todas las coloraciones en las que no hay cuadrados $2\times 2$ cuyas casillas sean todas rojas.

2 Un número de $10$ - dígitos se llama número $\textit{cute}$ si sus dígitos pertenecen al conjunto $\{1,2,3\}$ y la diferencia de cada par de dígitos consecutivos es $1$ . a) Halle el número total de números cute. b) Demuestre que la suma de todos los números cute es divisible por $1408$ .

3 Demuestre que para cualquier triángulo $ABC$ , se cumple la desigualdad $\displaystyle\sum_{\text{cyclic}}\cos A\le\sum_{\text{cyclic}}\sin (A/2)$ .

1 Halle todos los enteros positivos $a,b$ tales que $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ y $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ son también enteros.

1 Sea $ABC$ un triángulo en el cual $CA>BC>AB$ . Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$ . Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ respecto a $AB$ y de $E$ respecto a $AC$ . Demuestre que $O, H, D', E'$ se encuentran sobre una circunferencia si y solo si $A, D', E'$ son colineales.

1 En un triángulo $ABC$ , un punto $D$ está sobre el segmento $BC$ . Sean $X$ y $Y$ los incentros de los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. Las rectas $BY$ y $CX$ intersecan a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P\ne Y$ y $Q\ne X$ , respectivamente. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $PX$ y $QY$ . Suponga que $K$ es también la reflexión de $I$ respecto a $BC$ , donde $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Demuestre que $\angle BAC=\angle ADC=90^{\circ}$ .

2 Halle todas las ternas $(p, x, y)$ formadas por un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambas potencias de $p$ . Propuesto por Bélgica

3 Hay $n\ge 2$ lámparas, cada una con dos estados: $\textbf{on}$ o $\textbf{off}$ . Para cada subconjunto no vacío $A$ del conjunto de estas lámparas, hay un $\textit{soft-button}$ que opera sobre las lámparas de $A$ ; es decir, al $\textit{operating}$ este botón cada una de las lámparas de $A$ cambia su estado (de encendido a apagado y de apagado a encendido). Los botones son idénticos y no se sabe qué botón corresponde a qué subconjunto de lámparas. Suponga que inicialmente todas las lámparas están apagadas. Demuestre que siempre se pueden encender todas las lámparas realizando a lo sumo $2^{n-1}+1$ operaciones.

1 Considérese una circunferencia fija $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre ella. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ sobre $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que al variar $P$ , el punto $Q$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido