7 La ciudad de Bridge Village tiene algunas autopistas. Las autopistas son curvas cerradas que se intersecan entre sí o consigo mismas en cruces de $4$ vías. El Sr. Bridge Lover, alcalde de la ciudad, quiere construir un puente en cada cruce para disminuir el número de accidentes. Quiere construir los puentes de tal manera que en cada autopista, los autos pasen alternadamente por encima de un puente y por debajo de un puente. Conociendo el número de autopistas, determine si esta acción es posible o no. Propuesto por Erfan Salavati

1 (a) Decimos que un hiperplano $H$ dado por esta ecuación \[H=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n=b\}\] ( $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb R^n$ y $b\in \mathbb R$ constantes) biseca al conjunto finito $A\subseteq \mathbb R^n$ si cada uno de los dos semiespacios $H^+=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n>b\}$ y $H^-=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n<b\}$ contiene a lo sumo $\lfloor \tfrac{|A|}{2}\rfloor$ puntos de $A$ . Suponga que $A_1,\dots,A_n$ son subconjuntos finitos de $\mathbb R^n$ . Demuestre que existe un hiperplano $H$ en $\mathbb R^n$ que los biseca a todos al mismo tiempo. (b) Suponga que los puntos de $B=A_1\cup \dots \cup A_n$ están en posición general. Demuestre que existe un hiperplano $H$ tal que $H^+\cap A_i$ y $H^-\cap A_i$ contienen exactamente $\lfloor \tfrac{|A_i|}{2}\rfloor$ puntos de $A_i$ . (c) Con la ayuda de la parte (b), muestre que el siguiente teorema es verdadero: Dos ladrones quieren dividir un collar abierto que tiene $d$ tipos diferentes de piedras, donde el número de piedras de cada tipo es par, de modo que cada uno de los ladrones reciba el mismo número de piedras de cada tipo. Muestre que los dos ladrones pueden lograrlo cortando el collar en a lo sumo $d$ lugares.

3 Sea $n$ un entero positivo, sea $S_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_{2^n}) \mid a_i=0 \ \text{or} \ 1, 1 \leq i \leq 2^n\}$ . Para cualesquiera dos elementos $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ y $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$ de $S_n$ , defina \[ d(a,b)= \sum_{i=1}^{2^n} |a_i - b_i| \] Llamamos a $A \subseteq S_n$ un $\textsl{Good Subset}$ si $d(a,b) \geq 2^{n-1}$ se cumple para cualesquiera dos elementos distintos $a$ y $b$ de $A$ . ¿Cuántos elementos puede tener a lo más el $\textsl{Good Subset}$ de $S_n$ ?

2006 g1.2 Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes con centros en $O$ y $O'$ , respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto sobre $\Gamma$ , $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$ , y $D$ es un punto sobre $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Muestre que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$ .

1 Sea \( \mathbb{R} ^{+} \) el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones \( \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ^{+} \) tales que \[ f(x+f(y)) = yf(xy+1)\] se cumple para todo \( x, y \in \mathbb{R} ^{+} \).

43 Demuestre que si para un polinomio $P(x, y)$ tenemos \[P(x - 1, y - 2x + 1) = P(x, y),\] entonces existe un polinomio $\Phi(x)$ tal que $P(x, y) = \Phi(y - x^2).$

G4 Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . Sea $A_1$ el punto donde $AP$ corta a $BC$ , sea $B_1$ el punto donde $BP$ corta a $CA$ , y sea $C_1$ el punto donde $CP$ corta a $AB$ . Sea $A_2$ el punto tal que $A_1$ es el punto medio de $PA_2$ , sea $B_2$ el punto tal que $B_1$ es el punto medio de $PB_2$ , y sea $C_2$ el punto tal que $C_1$ es el punto medio de $PC_2$ . Demuestre que los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ no pueden estar todos estrictamente dentro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . (Australia)

G1 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Omega$ . $\Gamma$ es la circunferencia que pasa por $O,B$ y es tangente a $AB$ en $B$ . Suponga que $\Gamma$ corta a $\Omega$ por segunda vez en $P \neq B$ . La circunferencia que pasa por $P,C$ y es tangente a $AC$ en $C$ corta a $\Gamma$ en $M$ . Demuestre que $|MP|=|MC|$ .

11 Sean $n$ y $z$ enteros mayores que $1$ y $(n,z)=1$ . Demuestre: (a) Al menos uno de los números $z_i=1+z+z^2+\cdots +z^i,\ i=0,1,\ldots ,n-1,$ es divisible por $n$ . (b) Si $(z-1,n)=1$ , entonces al menos uno de los números $z_i$ es divisible por $n$ .

1 Sean $a$ , $b$ , $n$ enteros positivos tales que $a,b \le n$ . Demuestre que: $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{a} \binom{k}{b} \le \frac{1}{a+b+1} \binom{n}{a} \binom{n}{b}$ Nota: Cuando $m<k$ , se define que $\binom{k}{m}=0$ .