2009.G1.6 Sebastián tiene cierta cantidad de rectángulos cuyas áreas suman 3 y cuyos lados miden todos a lo más $1$. Demuestra que con cada uno de estos rectángulos es posible cubrir un cuadrado de lado $1$ de manera que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del cuadrado. Nota: Los rectángulos pueden superponerse y pueden sobresalir de los lados del cuadrado.

2009.G2 El trapecio $ABCD$, de bases $AB$ y $CD$, está inscrito en una circunferencia $\Gamma$. Sea $X$ un punto variable del arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$ ni a $D$. Denotamos por $Y$ al punto de intersección de $AB$ y $DX$, y sea $Z$ el punto del segmento $CX$ tal que $\frac{XZ}{XC}=\frac{AY}{AB}$. Demuestra que la medida del ángulo $\angle AZX$ no depende de la elección de $X$.

2009.G3 Tenemos un polígono convexo $P$ en el plano y dos puntos $S,T$ en la frontera de $P$, que dividen el perímetro en una proporción $1:2$. Tres puntos distintos en la frontera, denotados por $A,B,C$, comienzan a moverse simultáneamente a lo largo de la frontera, en la misma dirección y con la misma velocidad. Demuestra que habrá un momento en el cual uno de los segmentos $AB, BC, CA$ tendrá una longitud menor o igual que $ST$.

2009.G4 Sean $AA_1$ y $CC_1$ alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $I$ y $J$ los incentros de los triángulos $AA_1C$ y $AC_1C$, respectivamente. Las rectas $C_1J$ y $A_1I$ se cortan en $T$. Demuestra que las rectas $AT$ y $TC$ son perpendiculares.

2012.G1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $P$ la intersección de $BC$ y $AD$. La recta $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $BDP$ en los puntos $S$ y $T$, con $S$ entre $A$ y $C$. La recta $BD$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ACP$ en los puntos $U$ y $V$, con $U$ entre $B$ y $D$. Demuestra que $PS = PT = PU = PV$.

2012.G2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $M$ y $N$ puntos variables sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que ni $M$ ni $N$ se encuentran en los vértices, y además, $AM \times MB = AN \times NC$. Demuestra que la mediatriz de $MN$ pasa por un punto fijo.

2012.G3 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de $AB$, $BC$ y $CA$ respectivamente, de modo que $MBNP$ es un paralelogramo. Sean $R$ y $S$ los puntos en los que la recta $MN$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Demuestra que $AC$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $RPS$.

2012.G4.2 2. En un cuadrado $ABCD$, sea $P$ un punto en el lado $CD$, distinto de $C$ y $D$. En el triángulo $ABP$, se trazan las alturas $AQ$ y $BR$, y sea $S$ el punto de intersección de las rectas $CQ$ y $DR$. Demuestra que $\angle ASB=90$.

2012.G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $H_A$, $H_B$ y $H_C$ los pies de las alturas relativas a los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Define $I_A$, $I_B$ e $I_C$ como los incentros de los triángulos $AH_B H_C$, $BH_C H_A$ y $CH_A H_B$, respectivamente. Sean $T_A$, $T_B$ y $T_C$ los puntos de intersección del incírculo del triángulo $ABC$ con $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que los triángulos $I_A I_B I_C$ y $T_A T_B T_C$ son congruentes.

2018.G1.1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $R$ y $S$ están en los segmentos $DC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AD = RC$ y $BC = SA$. Sean $P$, $Q$ y $M$ los puntos medios de $RD$, $BS$ y $CA$, respectivamente. Si $\angle MPC + \angle MQA = 90^\circ$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico.