7 Resuelve la ecuación $p^2-pq-q^3=1$ en números primos. A. Golovanov

8 El punto $A_1$ sobre el perímetro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ es tal que la recta $AA_1$ divide al cuadrilátero en dos partes de igual área. Los puntos $B_1$, $C_1$, $D_1$ se definen de manera similar. Demuestra que el área del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ es mayor que un cuarto del área de $ABCD$. L. Emelyanov

1 Sea $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ una sucesión de números reales definida de la siguiente manera: $a_0 = 3$, $a_1 = 2$, y $a_2 = 12$; y $2a_{n + 3} - a_{n + 2} - 8a_{n + 1} + 4a_n = 0$ para $n \geq 0$. Demuestra que $a_n$ es siempre un entero estrictamente positivo.

Sea $k$ un entero positivo. Considera $k$ números primos no necesariamente distintos tales que su producto es diez veces su suma. ¿Cuáles son estos primos y cuál es el valor de $k$?

3 Sea $ABC$ un triángulo, y $D$, $E$, $F$ puntos sobre los segmentos $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tales que $$ \frac{BD}{DC} = \frac{CE}{EA} = \frac{AF}{FB}. $$ Demuestra que si los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $DEF$ y $ABC$ coinciden, entonces $ABC$ es un triángulo equilátero.

4 Las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se cortan en $D$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ corta a los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$. Demuestra que $AO$ es perpendicular a $EF$.

5 Un cuadrado se divide en $N^2$ cuadrados pequeños iguales y no superpuestos, donde $N \geq 3$. Se nos da una línea quebrada que pasa por los centros de todos los cuadrados pequeños (dicha línea quebrada puede intersecarse a sí misma). Muestra que es posible encontrar una línea quebrada compuesta de $4$ segmentos para $N = 3$. Encuentra el número mínimo de segmentos en esta línea quebrada para $N$ arbitrario.

6 Encuentra el $2019$-ésimo entero estrictamente positivo $n$ tal que $\binom{2n}{n}$ no es divisible por $5$.

1 Demuestra que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente. (Polonia) Andrzej Komisarski y Marcin Kuczma

2 Determina todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe un polinomio \(f(x)\) con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero \(k\), el número \(f(k)\) es un entero si y solo si \(k\) no es divisible por \(n\); (2) el grado de \(f\) es menor que \(n\). (Hungría) Géza Kós