(a) Demuestre que, para cada entero positivo $n$ , el número de polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros que tienen todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria es finito. (b) Sea $P(x)$ un polinomio mónico con coeficientes enteros que tiene todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria. Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $y^m=1$ para cada raíz $y$ de $P(x)$ .

Considere $k$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_k$ que satisfacen $1\le a_1<a_2<\ldots<a_k\le n$ y $\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\le n$ para cualesquiera $i,j$ . Demuestre que $$k\le2\lfloor\sqrt n\rfloor.$$

Sea $ABC$ un triángulo y $L$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en el punto $P$ . Sea $L_1$ la circunferencia tangente a $AP,BP$ y $L$ . De manera similar, sea $L_2$ la circunferencia tangente a $AP,CP$ y $L$ . Demuestre que los puntos de tangencia de $L_1$ y $L_2$ con $AP$ coinciden.

Hay $n\ge3$ enteros alrededor de un círculo. Sabemos que para cada uno de estos números, la razón entre la suma de sus dos vecinos y el número es un entero positivo. Demuestre que la suma de las $n$ razones no es mayor que $3n$ .

Sea $p$ un primo impar y $k$ un entero positivo no divisible por $p$ , $1\le k<2(p+1)$ , y sea $N=2kp+1$ . Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) $N$ es un número primo (ii) existe un entero positivo $a$ , $2\le a<n$ , tal que $a^{kp}+1$ es divisible por $N$ y $\gcd\left(a^k+1,N\right)=1$ .

Demuestre que es posible colorear los puntos de $\mathbb Q\times\mathbb Q$ con dos colores de tal manera que cualesquiera dos puntos a distancia $1$ tengan colores distintos.

Considere una matriz $N\times N$ , donde $N$ es un entero positivo impar, tal que todas sus entradas son $-1,0$ o $1$ . Considere la suma de los números en cada fila y cada columna. Demuestre que al menos dos de las $2N$ sumas son iguales.

Considere una franja infinita, dividida en cuadrados unitarios. Se coloca un número finito de fichas en algunos de estos cuadrados. En un paso, elegimos un cuadrado $A$ que tiene más de una ficha, tomamos una de ellas y la ponemos en el cuadrado de la derecha, y tomamos otra ficha (de $A$ ) y la ponemos en el cuadrado de la izquierda. El procedimiento termina cuando todos los cuadrados tienen a lo sumo una ficha. Demuestre que, dada la configuración inicial, cualquier procedimiento que se tome terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

El pentágono $ABCDE$ de abajo es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un cuadrado y $BC=DE$ . ¿Cuál es la medida del ángulo $\angle AEC$ ?

Halle todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a &= \frac{2}{a+b} \\ \\ b &= \frac{2}{3a-b} \\ \end{cases}$$