3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=60^o, AB\ne AC$ y sea $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle A$ . La recta $(e)$ que es perpendicular a la bisectriz $AD$ en el punto $A$ , interseca la prolongación del lado $BC$ en el punto $E$ y además $BE=AB+AC$ . Halle los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ del triángulo $ABC$ .

4 Tenemos $100$ tarjetas con dos caras, la par y la impar . En cada cara están escritos dos enteros sucesivos: en la cara impar, un entero impar, y en el reverso, en la cara par, el número par que sigue al número impar de la cara impar, de modo que se usan todos los enteros de $1$ a $200$ . El estudiante $A$ elige al azar $21$ tarjetas y suma todos los números de ambas caras y anuncia como su suma el número $913$ . El estudiante $B$ elige al azar de las tarjetas restantes $20$ tarjetas y suma todos los números de ambas caras y anuncia como su suma el número $2400$ . a) Explique por qué el estudiante $A$ ha cometido un error en la suma. b) Si el resultado correcto para el estudiante $A$ es $903$ , explique por qué también el estudiante $B$ ha cometido un error en la suma.

1 a) Factorice $A= x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2$ b) Demuestre que no existen enteros $x,y,z$ tales que $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=2000 $

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle DAB=60^o$ , $\angle ABC=60^o$ y $\angle BCD=120^o$ . Las diagonales $AC$ , $BD$ se intersecan en el punto $M$ y $BM=a, MD=2a$ . Sea $O$ el punto medio del lado $AC$ y trace $OH \perp BD, H \in BD$ y $MN\perp OB, N \in OB$ . Demuestre que i) $HM=MN=\frac{a}{2}$ ii) $AD=DC$ iii) $S_{ABCD}=\frac{9a^2}{2}$

3 $4$ hombres se encuentran en la entrada de un túnel oscuro. El hombre $A$ necesita $10$ minutos para atravesar el túnel, el hombre $B$ necesita $5$ minutos, el hombre $C$ necesita $2$ minutos y el hombre $D$ necesita $1$ minuto. Solo hay una antorcha, que puede ser utilizada por cualquiera que atraviese el túnel. Además, a lo sumo $2$ hombres pueden atravesar al mismo tiempo usando la antorcha existente. Determine el menor tiempo posible que necesitan los cuatro hombres para llegar a la salida del túnel.

4 a) Si el entero positivo $N$ es un cubo perfecto y no es divisible por $10$ , entonces $N=(10m+n)^2$ donde $m,n \in N$ con $1\le n\le 9$ b) Halle todos los enteros positivos $N$ que son cubos perfectos, no son divisibles por $10$ , tales que el número obtenido al eliminar las últimas tres cifras sea también un cubo perfecto.

1 a) Demuestre que la fracción $\frac{3n+5}{2n+3}$ es irreducible para todo $n \in N$ b) Sean $x,y$ cifras del sistema de representación decimal con $x>0$ , y $\frac{\overline{xy}+12}{\overline{xy}-3}\in N$ , demuestre que $x+y=9$ . ¿Es cierta la recíproca?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=CD$ . Desde un punto arbitrario $P$ de su diagonal $BD$ , trazamos una recta paralela a $AB$ que interseca a $AD$ en el punto $M$ y una recta paralela a $CD$ que interseca a $BC$ en el punto $N$ . Demuestre que: a) La suma $PM+PN$ es constante, independiente de la posición de $P$ sobre la diagonal $BD$ . b) $MN\le BD$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Halle $a\in Z$ tal que la ecuación $2x^2+2ax+a-1=0$ tenga soluciones enteras, las cuales deben hallarse.

4 Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados con $a\ge b\ge c$ y $s\ge a+1$ , donde $s$ es el semiperímetro del triángulo. Demuestre que $$ \frac{s-c}{\sqrt{a}}+\frac{s-b}{\sqrt{c}}+\frac{s-a}{\sqrt{b}}\ge \frac{s-b}{\sqrt{a}}+\frac{s-c}{\sqrt{b}}+\frac{s-a}{\sqrt{c}}$$