2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle DAB = 60^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$ y $\angle BCD = 120^\circ$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $M$. Si $BM = 15$ y $MD = 30$, determine el área del cuadrilátero $ABCD$.

4 Sea $k$ un entero impar mayor que $1$. Sobre una mesa hay $k$ montones de piedras: el primero tiene $1$ piedra, el siguiente tiene $2$ piedras, el siguiente tiene $3$ piedras, y así sucesivamente hasta el último, que tiene $k$ piedras. En el primer paso, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retira $1$ piedra. En el segundo paso, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retiran $2$ piedras. En general, en el paso $n$, se eligen $3$ montones y todas sus piedras se combinan en un nuevo montón, del cual se retiran $n$ piedras. Después de varios pasos, solo queda un único montón sobre la mesa, que contiene $p$ piedras. Demuestre que $p$ es un cuadrado perfecto si y solo si los números $2k+2$ y $3k+1$ son cuadrados perfectos. Halle el valor mínimo de $k$ para el cual $p$ es un cuadrado perfecto. Nota: En cada paso, las piedras que se retiran se descartan permanentemente.

5 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ y $b_1, b_2, \ldots, b_{100}$ $200$ números reales distintos. En un tablero de $100\times 100$, el número $a_i + b_j$ está escrito en la celda de la fila $i$ y la columna $j$. Resulta que en cada columna, el producto de los $100$ números es igual a $1$. Demuestre que en cada fila, el producto de los $100$ números es igual a $-1$.

1 Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos positivos, no necesariamente distintos, tales que la expresión $p^2+3pq+q^2$ sea un cuadrado perfecto; una potencia de $5$.

3 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $$n - \big\lfloor n\big\{\sqrt{n}\big\}\big\rfloor = 2,$$ donde $\lfloor x \rfloor$ y $\{x\}$ denotan, respectivamente, la parte entera y la parte fraccionaria del número real $x$ que encierran. Nota: Por ejemplo, $\lfloor 5.7 \rfloor = 5$ y $\{5.7\} = 0.7$.

6 Sobre la recta real se marcan $22$ puntos: $$0 \leqslant a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_{21} < a_{22} \leqslant 1.$$ La operación permitida consiste en elegir dos puntos cualesquiera $A$ y $B$, borrarlos y marcar el punto medio de $AB$. Demuestre que, independientemente de la configuración inicial de los $22$ puntos, es posible realizar $20$ operaciones permitidas de modo que, después de estas operaciones, la distancia entre los únicos dos puntos restantes sea a lo sumo $0.001$. Nota: Suponga que en cada operación, el punto medio de $AB$ no coincide con ninguno de los puntos ya marcados.

1 Halle los números reales $a$, $b$, $c$ y $d$ que satisfacen las siguientes ecuaciones: $$\left \{\begin{matrix} a\cdot b+c+d & = & 6, \\ b\cdot c+d+a & = & 2, \\ c\cdot d+a+b & = & 5, \\ d\cdot a+b+c & = & 3. \end{matrix}\right .$$

2 Considere un tablero cuadrado de $8 \times 8$ con sus $64$ celdas inicialmente blancas. Determine el número mínimo de colores necesarios para colorear las celdas (cada una con un solo color) de manera que si cuatro celdas del tablero pueden ser cubiertas por una ficha con forma de $L$ como se muestra en la figura, entonces las cuatro celdas son de colores diferentes. [asy] size(3cm); draw((1,0)--(1,1)--(2,1)--(2,0)--(1,0)--(0,0)--(0,1)--(0,2)--(1,2)--(1,1)--(0,1)--(1,1)--(2,1)--(3,1)--(3,0)--(2,0)); [/asy] Nota: La ficha con forma de $L$ puede rotarse o voltearse.

3 Sea $n$ un entero positivo. Determine el número máximo de enteros positivos menores o iguales que $n^2$ que pueden colorearse de rojo de manera que si $a$ y $b$ son rojos, con $a \neq b$, entonces $a \cdot b$ no es rojo.

4 Sobre una mesa hay $10\,000$ cerillas, dos de las cuales están dentro de una caja. Ana y Beto juegan por turnos el siguiente juego. En cada turno, un jugador añade a la caja un número de cerillas igual a un divisor propio del número actual de cerillas en la caja. El juego termina cuando, por primera vez, hay más de $2024$ cerillas en la caja, y la persona que jugó el último turno es la ganadora. Si Ana comienza el juego, determine quién tiene una estrategia ganadora.