3 Sean \(a,b,c\) números reales. Considera la ecuación cuadrática en \(\cos{x}\) \[ a \cos^2{x}+b \cos{x}+c=0. \] Usando los números \(a,b,c\), forma una ecuación cuadrática en \(\cos{2x}\) cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compara la ecuación en \(\cos{x}\) y en \(\cos{2x}\) para \(a=4\), \(b=2\), \(c=-1\).

2 ¿Para qué valores reales de $x$ se cumple que \[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A \] dado a) $A=\sqrt{2}$ ; b) $A=1$ ; c) $A=2$ , donde solo se admiten números reales no negativos para las raíces cuadradas?

1 Determina todos los números de tres dígitos $N$ que tienen la propiedad de que $N$ es divisible por 11, y $\dfrac{N}{11}$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

15 Sea $p$ un número primo y $A = \{a_1, \ldots , a_{p-1} \}$ un subconjunto arbitrario del conjunto de los números naturales tal que ninguno de sus elementos es divisible por $p$ . Definamos una aplicación $f$ de $\mathcal P(A)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $A$ ) al conjunto $P = \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ de la manera siguiente: $(i)$ si $B = \{a_{i_{1}}, \ldots , a_{i_{k}} \} \subset A$ y $\sum_{j=1}^k a_{i_{j}} \equiv n \pmod p$ , entonces $f(B) = n,$ $(ii)$ $f(\emptyset) = 0$ , siendo $\emptyset$ el conjunto vacío. Demuestre que para cada $n \in P$ existe $B \subset A$ tal que $f(B) = n.$ Amir

1 Demuestra que la fracción $ \dfrac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo número natural $ n$ .

6 Considera un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera, de modo que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestra que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentra el menor número $k$ para el cual $V_1=kV_2$; para este caso, construye el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.

4 Construye el triángulo \(ABC\), dados \(h_a\), \(h_b\) (las alturas desde \(A\) y \(B\)), y \(m_a\), la mediana desde el vértice \(A\).

5 Considera el cubo $ABCDA'B'C'D'$ (con la cara $ABCD$ directamente encima de la cara $A'B'C'D'$). a) Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $XY$, donde $X$ es cualquier punto de $AC$ y $Y$ es cualquier punto de $B'D'$; b) Encuentra el lugar geométrico de los puntos $Z$ que están sobre el segmento $XY$ de la parte a) con $ZY=2XZ$.

4 Construye un triángulo rectángulo con hipotenusa dada \(c\) tal que la mediana trazada hacia la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

6 Dos planos, $P$ y $Q$, se intersecan a lo largo de la recta $p$. El punto $A$ está dado en el plano $P$, y el punto $C$ en el plano $Q$; ninguno de estos puntos se encuentra sobre la recta $p$. Construye un trapecio isósceles $ABCD$ (con $AB \parallel CD$) en el que se pueda inscribir un círculo, y con los vértices $B$ y $D$ situados en los planos $P$ y $Q$ respectivamente.