3 En $\triangle PQR$, $PR=15$, $QR=20$ y $PQ=25$. Los puntos $A$ y $B$ están sobre $\overline{PQ}$, los puntos $C$ y $D$ están sobre $\overline{QR}$, y los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{PR}$, con $PA=QB=QC=RD=RE=PF=5$. Encuentra el área del hexágono $ABCDEF$.

5 Un número racional escrito en base ocho es $\underline{a} \underline{b} . \underline{c} \underline{d}$, donde todos los dígitos son distintos de cero. El mismo número en base doce es $\underline{b} \underline{b} . \underline{b} \underline{a}$. Encuentra el número en base diez $\underline{a} \underline{b} \underline{c}$.

5 Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función tal que $f(x-y) = f(x)f(y)$ y $f(x) \neq 0$ para todo $x$ . Halle $f(3)$ .

Sea $m$ el menor entero positivo divisible por $17$ cuya suma de dígitos sea $17$. Encuentra $m$.

1 Demuestre que la ecuación $e^x - \ln(x) - 2^{2014} = 0$ tiene exactamente $2$ raíces reales positivas.

Ana y Bruno juegan al siguiente juego. Ana elige una palabra, que escribe tanto en una pizarra como en una servilleta. En cada turno realiza las dos operaciones siguientes, en este orden: elige una letra que aparezca en la pizarra y borra todas sus apariciones. Escribe la palabra actual de la pizarra a la derecha de la palabra escrita en la servilleta, sin dejar espacios. Ana repite este proceso hasta que la pizarra queda vacía, y entonces le da la servilleta a Bruno. Por ejemplo, si la palabra inicial es loro, y Ana borra la o en el primer turno, la l en el segundo y la r en el tercero, entonces la palabra final en la servilleta será lorolrr. Suponiendo que Bruno sabe cómo funciona el proceso, demuestre que puede determinar la palabra original únicamente a partir de la palabra final escrita en la servilleta. Propuesto por Gregorio Salazar

Sea $ABC$ un triángulo. La mediatriz de $AC$ interseca a $AB$ en $P$ y la mediatriz de $AB$ interseca a $AC$ en $Q$ . La circunferencia con centro $P$ y radio $PA$ interseca a la circunferencia con centro $Q$ y radio $QA$ en el punto $X$ distinto de $A$ . Si $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , demuestre que los puntos $A$ , $O$ y $X$ son colineales. Propuesto por Nicolás de la Hoz

Rubén Darío elige $n$ números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ y escribe la tupla $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ . Cada minuto reemplaza la tupla actual $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ por la tupla \[ (x_1 + x_2,\; x_2 + x_3,\; \dots,\; x_n + x_1). \] ¿Puede elegir los números iniciales $a_1, \dots, a_n$ de modo que, en el minuto $k$‑ésimo, el número de Fibonacci $k$‑ésimo aparezca en algún lugar de la tupla? Nota: La sucesión de Fibonacci se define por $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para todo $n \ge 1$ . Propuesto por Juan David Restrepo

2 Problema 3 para el grado

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$ y sean $P$ y $Q$ puntos sobre $BC$ . Si las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABP$ y $CDP$ se intersecan en $E$ (distinto de $P$ ) y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABQ$ y $CDQ$ se intersecan en $F$ (distinto de $Q$ ) , demuestre que $PE$ es paralelo a $QF$ . Propuesto por Maria Losada y Santiago Rodriguez