1 Determine todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales tales que $x^4 + y^3z = zx$ , $y^4 + z^3x = xy$ y $z^4 + x^3y = yz$ .

. Demuestre que para todos los números reales $a, b, c$ se cumple la desigualdad $ab+bc+ac \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$ . P5. Las diagonales de un trapecio miden $6cm$ y $8cm$ , y el segmento que une los puntos medios de sus bases mide $5cm$ . Halle el área del trapecio. P6. Hay $4$ monedas, cada una de las cuales pesa $10g$ u $11g$ . Se dispone de una balanza de un solo platillo que muestra únicamente el peso total colocado en ella. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para determinar el peso de cada moneda?

22 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y $\angle BAC = 60^{\circ}$ . La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a la recta $BC$ y a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $M,L$ , respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $BL\cap AC$ respecto a la recta $BC$ . Sea $D$ un punto de la recta $CO$ con $DM$ perpendicular a $KL$ . Demuestre que los puntos $K,A,D$ son colineales. Propuesto por Sanjana Philo Chacko

2 Sea $P_1P_2\ldots P_{24}$ un polígono regular de $24$ lados inscrito en un círculo $\omega$ de circunferencia $24$ . Determine el número de maneras de elegir conjuntos de ocho vértices distintos de estos $24$ tales que ninguno de los arcos tenga longitud $3$ u $8$ .

3 Sea $n$ un entero positivo y $p$ un número primo. En términos de $n$ y $p$ , halle el mayor entero no negativo $k$ para el cual existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que satisface las siguientes condiciones: el coeficiente de $x^n$ en $P(x)$ es $1$ . $p^k$ divide a $P(x)$ para todos los enteros $x$ . Aprameya Tripathy

. ¿Cuántos números naturales distintos se pueden escribir en la forma $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son números naturales que no exceden $10$ ? Nótese que, por ejemplo, $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ . P2. ¿Cuál es el número máximo de rectas que se pueden trazar en el plano de manera que cada recta interseca exactamente otras cuatro rectas? P3. ¿Cuántas cifras tiene la representación decimal del número $4^{50}\cdot5^{105}$ ? P4. Hay $6$ niños y $6$ niñas en un club de baile. ¿De cuántas maneras se pueden emparejar en parejas niño–niña? P5. El Ministro de Finanzas decidió que solo deben estar en circulación monedas de denominaciones $33$ y $60$ unidades monetarias. ¿Cuál es la cantidad positiva más pequeña que un comprador puede pagar a un vendedor por una mercancía, suponiendo que ambos tienen suficientes monedas de ambas denominaciones? P6. Hay $20$ personas en un club. El día de Año Nuevo, cada persona envió tarjetas de felicitación a exactamente $10$ otros miembros del club. Demuestre que existen dos personas que intercambiaron tarjetas entre sí.

B4 El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Una demostración de la parte (a) será premiada con 5 puntos. Se pueden otorgar hasta 7 puntos adicionales por avances en la parte (b). Sea $p(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes pertenecientes al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ . Suponga que, para cada $1 \le k \le d-1$ , $p(x)$ y su $k$ -ésima derivada $p^{(k)}(x)$ tienen una raíz común en $\mathbb{Q}$ ; es decir, existe $r_k \in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k) = p^{(k)}(r_k) = 0$ . (a) Demuestre que si $d$ es primo entonces existen constantes $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tales que \[ p(x) = c(ax + b)^d. \] (b) ¿Para qué enteros $d \ge 2$ se cumple la conclusión de la parte (a)?

. Halle la suma $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2005}}$ . P2. Sobre la mediana $AM$ del triángulo $ABC$ se elige un punto $L$ tal que $AL:LM=1:2$ . ¿En qué razón divide la recta $BL$ al segmento $AC$ ? P3. Los números $2^{2004}$ y $5^{2004}$ se escriben uno a continuación del otro. ¿Cuántas cifras se escriben en total?

. Un área de piso rectangular está embaldosada con baldosas cuadradas de igual tamaño. Se usan baldosas de color rojo a lo largo del borde del área, y baldosas verdes en el interior. Resulta que el número de baldosas rojas es igual al número de baldosas verdes. ¿Cuál es el número total de baldosas que se podría haber usado? P2. ¿Puede la representación decimal del factorial de un número natural terminar con exactamente once ceros? Recuerde que $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$ . P3. Demuestre que para todo número natural $k\geqslant6$ , un cuadrado se puede dividir en $k$ cuadrados (algunos de los cuales pueden ser congruentes). P4. Un hermano y una hermana hornearon una pizza con forma de triángulo equilátero. La hermana elige un punto dentro del triángulo, y el hermano hace un corte recto que pasa por ese punto y toma el trozo que prefiere. ¿Qué punto debe elegir la hermana para garantizarse un trozo de área máxima posible? P5. Según el parámetro $a$ , determine el número de soluciones reales $(x,y)$ del sistema $\left\{\begin{aligned} |x|+|y| &=1, \\ x^{2}+y^{2} &=a. \end{aligned}\right.$ P6. Los números reales $c$ y $d$ satisfacen el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{aligned} c^{3}-3c^{2}+5c-17 &=0, \\ d^{3}-3d^{2}+5d+11&=0. \\ \end{aligned}\right.$ Halle el valor de $c+d$ .

Sean \( x, y \) números reales positivos y \( n \) un número natural tales que \[ \left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor. \] Demuestra que \[ \frac{-1}{2n+1} < x-y < \frac{2}{2n-1}. \] ( \( \lfloor t \rfloor \) es la parte entera de \( t \), es decir, el mayor entero que no excede a \( t \).)