6 Demuestre que para cada par de enteros positivos coprimos $a, c$ existe un entero positivo $b$ tal que $c$ divide a $\underbrace{b^{b^{b^{\ldots^b}}}}_\text{b times}-a$

U2/L4 Dado que para algún polinomio $P(x),$ se tiene $P(\cos x)=\cos(10x),$ para todo $x\in \mathbb R,$ calcule $P(5/4).$

1 Para un triángulo acutángulo $ ABC$ demuestre la desigualdad: $ \sum_{cyclic} \frac{m_a^2}{-a^2+b^2+c^2}\ge \frac{9}{4}$ donde $ m_a,m_b,m_c$ son las longitudes de las medianas correspondientes.

2 Sean $ x,y,z$ números reales positivos tales que $ x+2y+3z=\frac{11}{12}$ . Demuestre la desigualdad $ 6(3xy+4xz+2yz)+6x+3y+4z+72xyz\le \frac{107}{18}$ .

3 Sea $ n\ge 3$ un número natural. Un conjunto de números reales $ \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ se llama sumable si $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=1$ . Demuestre que para todo $ n\ge 3$ siempre existe un conjunto sumable que consta de $ n$ elementos tal que el elemento más grande es: a) mayor que $ 2^{2n-2}$ b) menor que $ n^2$

4 Determine el mayor valor posible de $ m$ para el cual la ecuación $ 2005x + 2007y = m$ tiene una única solución en números naturales.

5 Determine todos los pares $ (m,n)$ de números naturales para los cuales $ m^2=nk+2$ donde $ k=\overline{n1}$ . EDIT. Se ha descubierto que el enunciado correcto es con $ k=\overline{1n}$ .

7 Determine todos los números $ \overline{abcd}$ tales que $ \overline{abcd}=11(a+b+c+d)^2$ .

8 Demuestre que no existen números naturales $ n\ge 10$ que tengan todos sus dígitos distintos de cero, y tales que todos los números que se obtienen mediante permutaciones de sus dígitos sean cuadrados perfectos.

9 Sea $ ABCD$ un trapecio con $ AB\parallel CD,AB>CD$ y $ \angle{A} + \angle{B} = 90^\circ$ . Demuestre que la distancia entre los puntos medios de las bases es igual a la semidiferencia de las bases.