El conjunto de puntos en el espacio coordenado de $3$ dimensiones que se encuentran en el plano $x+y+z=75$ cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades $$x-yz<y-zx<z-xy$$ forma tres regiones convexas disjuntas. Exactamente una de esas regiones tiene área finita. El área de esta región finita se puede expresar en la forma $a\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b.$

Una función lineal por tramos está definida por \[f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \in [-1, 1) \\ 2 - x & \text{si } x \in [1, 3)\end{cases}\] y \(f(x + 4) = f(x)\) para todo número real \(x.\) La gráfica de \(f(x)\) tiene el patrón de dientes de sierra que se muestra abajo. Diagrama de RandomMath. https://i.ibb.co/JW8jH2Dr/image.png La parábola \(x = 34y^2\) interseca la gráfica de \(f(x)\) en un número finito de puntos. La suma de las coordenadas \(y\) de estos puntos de intersección se puede expresar en la forma \(\tfrac{a + b\sqrt c}d,\) donde \(a, b, c\) y \(d\) son enteros positivos, \(a, b\) y \(d\) tienen máximo común divisor igual a \(1,\) y \(c\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(a + b + c + d.\)

Las 27 celdas de una cuadrícula de \(3 \times 9\) se llenan usando los números del \(1\) al \(9\) de modo que cada fila contenga 9 números diferentes, y cada uno de los tres bloques de \(3 \times 3\) marcados con líneas gruesas en el ejemplo de abajo contenga 9 números diferentes, como en las primeras tres filas de un Sudoku. [asy] unitsize(20); add(grid(9,3)); draw((0,0)--(9,0)--(9,3)--(0,3)--cycle, linewidth(2)); draw((3,0)--(3,3), linewidth(2)); draw((6,0)--(6,3), linewidth(2)); real a = 0.5; label("5",(a,a)); label("6",(1+a,a)); label("1",(2+a,a)); label("8",(3+a,a)); label("4",(4+a,a)); label("7",(5+a,a)); label("9",(6+a,a)); label("2",(7+a,a)); label("3",(8+a,a)); label("3",(a,1+a)); label("7",(1+a,1+a)); label("9",(2+a,1+a)); label("5",(3+a,1+a)); label("2",(4+a,1+a)); label("1",(5+a,1+a)); label("6",(6+a,1+a)); label("8",(7+a,1+a)); label("4",(8+a,1+a)); label("4",(a,2+a)); label("2",(1+a,2+a)); label("8",(2+a,2+a)); label("9",(3+a,2+a)); label("6",(4+a,2+a)); label("3",(5+a,2+a)); label("1",(6+a,2+a)); label("7",(7+a,2+a)); label("5",(8+a,2+a)); [/asy] El número de formas diferentes de llenar tal cuadrícula se puede escribir como \(p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d\) donde \(p\), \(q\), \(r\) y \(s\) son números primos distintos y \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) son enteros positivos. Encuentra \(p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d\).

La parábola con ecuación $y = x^2 - 4$ se rota $60^\circ$ en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. El único punto en el cuarto cuadrante donde la parábola original y su imagen se intersectan tiene coordenada $y$ igual a $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos, y $a$ y $c$ son primos relativos. Encuentra $a + b + c$.

Sea $k$ un número real tal que el sistema \begin{align*} &|25+20i-z|=5\\ &|z-4-k|=|z-3i-k| \\ \end{align*} tiene exactamente una solución compleja $z.$ La suma de todos los valores posibles de $k$ se puede escribir como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n.$ Aquí $i=\sqrt{-1}.$

Las doce letras $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$ y $L$ se agrupan aleatoriamente en seis pares de letras. Las dos letras de cada par se colocan una al lado de la otra en orden alfabético para formar seis palabras de dos letras, y luego esas seis palabras se ordenan alfabéticamente. Por ejemplo, un resultado posible es $AB$, $CJ$, $DG$, $EK$, $FL$, $HI$. La probabilidad de que la última palabra listada contenga $G$ es $\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Un trapecio isósceles tiene un círculo inscrito tangente a cada uno de sus cuatro lados. El radio del círculo es $3$, y el área del trapecio es $72$. Sean las longitudes de los lados paralelos del trapecio $r$ y $s$, con $r \neq s$. Encuentra $r^2+s^2$.

Hay $8! = 40320$ enteros positivos de ocho dígitos que usan cada uno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 exactamente una vez. Sea $N$ el número de estos enteros que son divisibles por $22$. Encuentra la diferencia entre $N$ y 2025.

4 Encuentra el número de pares ordenados $(x,y)$ , donde tanto $x$ como $y$ son enteros entre $-100$ y $100$ inclusive, tales que $12x^2-xy-6y^2=0$ .

3 Los 9 miembros de un equipo de béisbol fueron a una heladería después de su partido. Cada jugador pidió un cono de una sola bola de helado de chocolate, vainilla o fresa. Al menos un jugador eligió cada sabor, y el número de jugadores que eligió chocolate fue mayor que el número de jugadores que eligió vainilla, que a su vez fue mayor que el número de jugadores que eligió fresa. Sea $N$ el número de asignaciones diferentes de sabores a los jugadores que cumplen estas condiciones. Encuentra el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$