4 Un mago tiene cien cartas numeradas del 1 al 100. Las pone en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de modo que cada caja contenga al menos una carta. Un miembro del público saca dos cartas de dos cajas distintas y anuncia la suma de los números de esas cartas. Con esta información, el mago localiza la caja de la que no se ha sacado ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden poner las cartas en las tres cajas para que el truco funcione? Valentin

¿Existe un entero positivo $ n$ tal que $ n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $ n$ divide a $ 2^n + 1$ ? Valentin

6 Sea \( AH_1, BH_2, CH_3\) las alturas de un triángulo acutángulo \( ABC\). Su incírculo toca los lados \( BC, AC\) y \( AB\) en \( T_1, T_2\) y \( T_3\) respectivamente. Considera las imágenes simétricas de las rectas \( H_1H_2, H_2H_3\) y \( H_3H_1\) con respecto a las rectas \( T_1T_2, T_2T_3\) y \( T_3T_1\). Demuestra que estas imágenes forman un triángulo cuyos vértices están sobre el incírculo de \( ABC\).

1 Sea $B$ un punto sobre una circunferencia $S_1$, y sea $A$ un punto distinto de $B$ en la tangente a $S_1$ en $B$. Sea $C$ un punto que no está en $S_1$ tal que el segmento $AC$ corta a $S_1$ en dos puntos distintos. Sea $S_2$ la circunferencia que toca a $AC$ en $C$ y toca a $S_1$ en un punto $D$ del lado opuesto de $AC$ respecto de $B$. Demuestra que el circuncentro del triángulo $BCD$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

3 Sean $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos mayores que $3$. Demuestra que $2^{p_1p_2\cdots p_n}+1$ tiene al menos $4^n$ divisores.

Un círculo tiene su centro en el lado \(AB\) del cuadrilátero cíclico \(ABCD\). Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestra que \(AD+BC=AB\).

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos relativos con $k<n$. Cada número del conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ se colorea de azul o de blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$, tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestra que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

3 Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestra que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]

4 Dado un conjunto \( M \) de \( 1985 \) enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que \( 23 \), demuestra que \( M \) contiene un subconjunto de \( 4 \) elementos cuyo producto es la \( 4 \)-ésima potencia de un entero.

5 Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en los puntos distintos $K$ y $N$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (distinto de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.