9.2 En el plano, se marcan varios puntos y se colorean con cuatro colores de modo que cualquier circunferencia que pase por tres puntos marcados de colores distintos contenga (sobre ella) exactamente un punto marcado del color restante. ¿Es necesario que todos los puntos marcados sean concíclicos? Propuesto por F. Nilov

9.1 Las alturas $AA_1$ , $BB_1$ de un triángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$ . Sean $A'$ , $B'$ los reflejos de $A$ , $B$ respecto a $BB_1$ , $AA_1$ respectivamente. Demuestra que los círculos de los nueve puntos de los triángulos $A'B'C$ y $A'B'H$ son tangentes. Propuesto por Ya. Scherbatov

9.8 Restaura un cuadrilátero bicentral $ABCD$ mediante el incentro $I$, el punto común $E$ de las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos $A$ y $C$, y el punto común $F$ de las tangentes a la circunferencia circunscrita en los puntos $B$ y $D$. Propuesto por S. Arutyunyan.

9.7 Se da un triángulo \(ABC\). Sea \(D\) un punto arbitrario sobre la mediatriz de \(BC\), que se encuentra fuera del triángulo. Las rectas \(BD\) y \(AC\) se cortan en \(C'\), y las rectas \(CD\) y \(AB\) se cortan en \(B'\). Un punto \(M_a\) es el punto medio de \(BC\), y \(M\) es el segundo punto común a las circunferencias \((BB'D)\) y \((CC'D)\). Demuestra que el circuncentro de \(DMM_a\) se encuentra sobre una recta fija. Propuesto por ALEPH/N.Shteinberg, A.Naumenja

10.5 Sea $P$ un punto aleatorio dentro de un triángulo regular $ABC$. Encuentra la probabilidad de que exista un triángulo acutángulo con lados de longitudes $AP, BP, CP$ (la probabilidad de encontrar el punto dentro de alguna región es proporcional al área de esta región). Propuesto por K. Belsky

10.6 Los círculos $\Omega$ y $\omega_a$ son el circuncírculo y el excírculo opuesto a $A$ de algún triángulo $ABC$. Sean $I_b, I_c$ los centros de los dos excírculos restantes, y $A_b, A_c$ los puntos de tangencia de las extensiones de $AB, AC$ con $\omega_a$. Demuestra que el punto de intersección de las rectas $A_bI_b$ y $A_cI_c$ no depende del triángulo $ABC$. Propuesto por Ya. Scherbatov.

10.7 Sea \(ABCD\) un cuadrilátero cíclico. Una cónica arbitraria pasa por \(A, B, C, D\). Considera cuatro rectas que son las imágenes isogonales de esta cónica con respecto a los triángulos \(ABC, ABD, BCD, ACD\). Demuestra que el cuadrilátero formado por estas rectas está circunscrito. Propuesto por M. Vekshin

10.8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Una recta $l$ corta a los lados $AB$, $AC$ y a la prolongación de $BC$ en los puntos $C_1$, $B_1$, $A_1$ respectivamente. Un círculo $\omega_a$ toca a $BC$ en $A$, y toca el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$. Los círculos $\omega_b$, $\omega_c$ se definen de manera similar. Demuestra que estos tres círculos tienen una tangente común. Propuesto por K. Belsky

1 Determina el número de valores distintos que aparecen en la sucesión \[\left\lfloor\frac{2025}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{3}\right\rfloor,\dots,\left\lfloor\frac{2025}{2024}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2025}\right\rfloor.\]

2 El cuadrilátero cíclico $ABCD$, inscrito en la circunferencia $\Gamma$, cumple que $AB=BC$ y $CD=DA$, y $E$ es el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. La circunferencia con centro $A$ y radio $AE$ corta a $\Gamma$ en dos puntos $F$ y $G$. Demuestra que la recta $FG$ es tangente a las circunferencias con diámetros $BE$ y $DE$.