G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y $P$ un punto en su interior. Las proyecciones de $P$ sobre los lados del cuadrilátero están sobre una circunferencia con centro $O$. Muestra que $O$ está sobre la recta que pasa por los puntos medios de $AC$ y $BD$.

G4 Sea $MN$ una recta paralela al lado $BC$ de un triángulo $ABC$, con $M$ en el lado $AB$ y $N$ en el lado $AC$. Las rectas $BN$ y $CM$ se cortan en el punto $P$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMP$ y $CNP$ se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle BAQ = \angle CAP$. Liubomir Chiriac, Moldavia

G5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $S$ un punto arbitrario en su interior. Sea también $E$ el punto simétrico de $S$ respecto al punto medio $K$ del lado $AB$, y sea $Z$ el punto simétrico de $S$ respecto al punto medio $L$ del lado $CD$. Demuestra que $(AECZ) = (EBZD) = (ABCD)$.

G6 Dos circunferencias $O_1$ y $O_2$ se intersecan entre sí en $M$ y $N$. La tangente común a las dos circunferencias más cercana a $M$ toca a $O_1$ y $O_2$ en $A$ y $B$, respectivamente. Sean $C$ y $D$ los reflejos de $A$ y $B$ con respecto a $M$, respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $DCM$ interseca a las circunferencias $O_1$ y $O_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente (ambos distintos de $M$). Muestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $MEF$ y $NEF$ tienen el mismo radio.

C1 Un rectángulo de $9 \times 12$ está dividido en cuadrados unitarios. Los centros de todos los cuadrados unitarios, excepto los cuatro cuadrados de las esquinas y los ocho cuadrados que comparten un lado común con uno de ellos, se colorean de rojo. ¿Es posible etiquetar estos centros rojos como $C_1,C_2,\ldots ,C_{96}$ de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes: i) las distancias $C_1C_2,\ldots ,C_{95}C_{96}, C_{96}C_{1}$ sean todas iguales a $\sqrt{13}$, ii) la línea poligonal cerrada $C_1C_2\ldots C_{96}C_1$ tenga un centro de simetría? Bulgaria

C2 Sean $A_1, A_2, \ldots , A_m$ subconjuntos del conjunto $\{ 1,2, \ldots , n \}$, tales que el cardinal de cada subconjunto $A_i$, con $1 \le i \le m$, no es divisible por $30$, mientras que el cardinal de cada uno de los subconjuntos $A_i \cap A_j$ para $1 \le i,j \le m$, $i \neq j$, es divisible por $30$. Demuestra que \begin{align*} 2m - \left \lfloor \frac{m}{30} \right \rfloor \le 3n \end{align*}

N1 Resuelve la ecuación dada en enteros \begin{align*} y^3=8x^6+2x^3y-y^2 \end{align*}

N2 Resuelve la ecuación \[ 3^x - 5^y = z^2.\] en enteros positivos. Grecia

N3 Determina todos los enteros $1 \le m, 1 \le n \le 2009$ para los cuales \begin{align*} \prod_{i=1}^n \left( i^3 +1 \right) = m^2 \end{align*}

5 En el cuadrado mostrado en la figura, halle el valor de $x$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/1/4659d5afa5b409d9264924735297d1188b0be3.png