Se dan 10 números reales positivos distintos y se escribe la suma de cada par (así que 45 sumas). Entre estas sumas hay 5 números iguales. Si calculamos el producto de cada par, encuentra el mayor número $k$ tal que pueda haber $k$ números iguales entre ellos.

1 Encuentra el mayor entero $k$ con la siguiente propiedad: Siempre que los números reales $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ satisfagan \[x_1^2=(x_1+x_2)^2=\dots=(x_1+x_2+\dots+x_{2024})^2,\] al menos $k$ de ellos son iguales.

6 Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Encuentra el mayor $\alpha$ tal que existe un triángulo para el cual hay al menos tres ángulos entre $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ que son $\geq \alpha$.

5 Tenemos una tabla de $m\times n$ recubierta con franjas de $3\times 1$ y sabemos que $6 | mn$. Demuestra que existe un recubrimiento de la tabla con dominós de $2\times 1$ tal que cada una de esas franjas contiene un dominó completo.

3 Sea \(ABC\) un triángulo isósceles con base \(AB\). Se eligen puntos \(P\) en el lado \(AC\) y \(Q\) en el lado \(BC\) tales que \[ AP + BQ = PQ. \] La recta que pasa por el punto medio del segmento \(PQ\) paralela a \(BC\) interseca al segmento \(AB\) en \(N\). La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo \(PNQ\) interseca a la recta \(AC\) nuevamente en \(K\) (además de \(P\)) y a la recta \(BC\) nuevamente en \(L\) (además de \(Q\)). Sea \(R\) el punto de intersección de las rectas \(PL\) y \(QK\). Demuestra que la recta \(PQ\) es perpendicular a la recta \(CR\).

4 Dado un triángulo \(ABC\) tal que \[ AC=\frac{AB+BC}{2}, \] sea \(BL\) la bisectriz interna del ángulo \(\angle ABC\). Sean \(K\) y \(M\) los puntos medios de \(AB\) y \(BC\), respectivamente. Determina la medida del ángulo \(\angle KLM\) si \(\angle ABC=\beta\).

5 Encuentra todos los números naturales \(n\) para los cuales es posible particionar el conjunto \(\{1,2,\ldots,3n\}\) en ternas \(\{a,b,c\}\) tales que \(b-a\) y \(c-b\) son dos elementos distintos del conjunto \(\{n-1,n,n+1\}\) .

6 Un cubo de \(10\times 10\times 10\) está subdividido en \(1000\) cubos unitarios mediante planos paralelos a sus caras. Inicialmente, todos los cubos unitarios son blancos. Alejo y Beto juegan el siguiente juego. Alejo elige una o más tiras disjuntas de \(1\times 1\times 10\) en cualquiera de las tres direcciones posibles del cubo, con la condición de que dos tiras elegidas no tengan ningún punto en común, y colorea de negro todos los cubos unitarios en esas tiras. Luego Beto, que no puede ver el cubo, selecciona algunos cubos unitarios y le pregunta a Alejo por sus colores. Determina el número mínimo de cubos unitarios que Beto debe seleccionar para poder determinar con certeza todos los cubos unitarios negros a partir de las respuestas de Alejo.

1 Un triángulo equilátero de lado \(7\) se subdivide, mediante líneas paralelas a sus lados, en \(49\) triángulos equiláteros más pequeños de lado \(1\). De este triángulo, se cortan paralelogramos siguiendo las líneas de la cuadrícula, cada uno con un par de lados de longitud \(1\) y el otro par de lados de longitud \(2\). Determina el número máximo de tales paralelogramos que se pueden cortar.

2 Sea \(\triangle ABC\) un triángulo y sea \(O\) un punto en su interior. Sea \(D\) un punto sobre \(BC\) tal que \(OD\) es perpendicular a \(BC\), y sea \(E\) un punto sobre \(AC\) tal que \(OE\) es perpendicular a \(AC\). Sea \(M\) el punto medio del lado \(AB\). Si \(DM=EM\), demuestra que \[ \angle OBD=\angle OAE. \]