Demuestre que: un polinomio es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ si y solo si es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Sea un polinomio $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]$$ de grado $n\ge 2$ y $a_o\ne 0.$ Demuestre que si $|a_{n-1}|>1+|a_{n-2}|+...+|a_1|+|a_0|$ , entonces $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x].$

Demuestre que estos polinomios son irreducibles en $\mathbb{Q}[x]:$ a) $\frac{{{x^p}}}{{p!}} + \frac{{{x^{p - 1}}}}{{(p - 1)!}} + ... + \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1,$ donde $p$ es un número primo. b) $x^{2^n}+1,$ donde $n$ es un entero positivo.

Sea un polinomio con coeficientes enteros $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,n\ge 1$$ que satisface estas condiciones: i) $|a_0|$ no es un cuadrado perfecto. ii) $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$ Demuestre que: $P(x^2)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que: para todo entero positivo $n\ge 2,$ el polinomio $$(x^2-1)^2(x^2-1)^2...(x^2-2023)^2+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que: el polinomio $$(x(x+1))^{2^{2023}}+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que: el polinomio $$(x(x+1)(x+2)(x+3))^{2^{2023}}+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

1 Demuestre que para cualquier número impar $n > 0$ , existen tres números impares $a,b,c > 0$ distintos dos a dos tales que $$3/n=1/a+1/b+1/c$$

4 Sea $n_{>5}\in\mathbb N_+.$ Demuestre que $n!\nmid\sigma(n!).$ Un caso especial de 2015 CWMI Día 2 P2

4 Sean $n > k \ge 2$ enteros, $n$ niños están igualmente espaciados alrededor de un círculo, cada uno de ellos tiene $m$ sombreros y cada uno de los $m$ sombreros tiene un color diferente. Encuentre el número más pequeño $m = f(n, k)$ tal que, sin importar cómo se distribuyan inicialmente los sombreros y sus colores, cada niño pueda usar un sombrero de manera que en ningún grupo de $k$ niños consecutivos dos niños usen sombreros del mismo color. Por ejemplo. Sean $n = 3$ niños $A$ , $B$ , $C$ y $k=1$ , y sea $m = 2$ , con el niño $A$ teniendo sombreros de colores $1, 2$ , $B$ teniendo sombreros de colores $1, 2$ , y $C$ teniendo sombreros de colores $3, 4$ , entonces tenemos que si $A$ usa el sombrero de color $1$ , $B$ usa el sombrero de color $2$ , y $C$ usa el sombrero de color $3$ tenemos una configuración válida.