5 Un plano contiene los puntos $A$ y $B$ con $AB = 1$ . El punto $A$ se rota en el plano en sentido antihorario un ángulo agudo $\theta$ alrededor del punto $B$ hasta el punto $A^\prime$ . Luego $B$ se rota en el plano en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor del punto $A^\prime$ hasta el punto $B^\prime$ . Suponga que $AB^\prime = \frac{4}{3}$ . El valor de $\cos \theta$ puede escribirse como $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m + n$ .

6 Un número real $x$ satisface $\sqrt[20]{x^{\log_{2026}x}}=26x$ . ¿Cuál es el número de divisores positivos del producto de todos los valores positivos posibles de $x$ ?

7 Halle el número de funciones $\pi$ que aplican el conjunto $A =\{1,2,3,4,5,6\}$ sobre $A$ tales que para todo $a \in A,$ \[ \pi(\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(a)))))) = a.\]

8 Sea $N$ el número de divisores enteros positivos de $17017^{17}$ que dejan residuo $5$ al ser divididos entre $12$ . Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ .

13 Llame primos a los conjuntos finitos de enteros $S$ y $T$ si $S$ y $T$ tienen el mismo número de elementos, $S$ y $T$ son disjuntos, y los elementos de $S$ pueden emparejarse con los elementos de $T$ de modo que los elementos de cada par difieran exactamente en $1$ . Por ejemplo, $\{1,2,5\}$ y $\{0,3,4\}$ son primos. Suponga que el conjunto $S$ tiene exactamente $4040$ primos. Halle el menor número de elementos que puede tener el conjunto $S$.

9 Joanne tiene un dado justo de seis caras en blanco y seis etiquetas, cada una con un entero diferente del 1 al 6. Joanne lanza el dado y luego coloca la etiqueta marcada con 1 en la cara superior del dado. Luego lanza el dado de nuevo, coloca la etiqueta marcada con 2 en la cara superior, y continúa este proceso para colocar el resto de las etiquetas en orden. Si el dado cae alguna vez con una etiqueta ya en su cara superior, la nueva etiqueta se coloca cubriendo la etiqueta anterior. Sea $p$ la probabilidad condicional de que al final del proceso exactamente una cara haya quedado en blanco, dado que todas las etiquetas con números pares son visibles en las caras del dado. Entonces $p$ puede escribirse como $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle ${}m + n.$

10 Sea $\triangle ABC {}$ un triángulo con lados de longitudes $AB = 13, BC = 14,$ y $CA = 15.$ El triángulo $\triangle A'B'C'$ se obtiene rotando $\triangle ABC{}$ alrededor de su circuncentro de modo que ${}\overline{A'C'}$ es perpendicular a $\overline{BC},$ con $A'$ y $B$ no en el mismo lado de la recta $B'C'.$ Halle el entero más cercano al área del hexágono $AA'CC'BB'.$

11 Los enteros del $1$ al $64$ se colocan en algún orden en una cuadrícula $8 \times 8$ de celdas con un número en cada celda. Sea $a_{i,j}$ el número colocado en la celda de la fila $i$ y la columna $j,$ y sea $M$ la suma de las diferencias absolutas entre celdas adyacentes. Es decir, \[M = \sum^8_{i=1} \sum^7_{j=1} (|a_{i,j+1} - a_{i,j}| + |a_{j+1,i} - a_{j,i}|).\] Halle el residuo cuando el valor máximo posible de $M$ se divide entre $1000.$

12 El triángulo $\triangle ABC {}$ se encuentra en el plano $\mathcal P$ con $AB = 6, AC = 4,$ y $\angle BAC = 90^\circ.$ Sea $D$ la reflexión a través de $\overline{BC}$ del centroide de $\triangle ABC. {}$ Cuatro esferas, todas en el mismo lado de $\mathcal P,$ tienen radios $1, 2, 3,$ y $r$ y son tangentes a $\mathcal P$ en los puntos $A, B, C,$ y $D,$ respectivamente. Las cuatro esferas son también cada una tangente a un segundo plano $\mathcal T$ y están todas en el mismo lado de $\mathcal T.$ El valor de $r$ puede escribirse como $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m+n.$

13 Para cada entero no negativo $r$ menor que $502,$ defina \[S_r=\sum_{m\ge 0}\dbinom{10000}{502n+r},\] donde $\binom{10000}{n}$ se define como $0$ cuando $n>10000.$ Es decir, $S_r$ es la suma de todos los coeficientes binomiales de la forma $\binom{10000}{k}$ para los cuales $0\le k\le 10000$ y $k-r$ es múltiplo de $502.$ Halle el número de enteros en la lista $S_0,S_1,\dots,S_{501}$ que son múltiplos del número primo $503.$