21 Calcule el mayor valor posible de $$\text{gcd}\left(\binom{n}{3}-1, \binom{n}{4}-1\right)$$ cuando $n$ recorre todos los enteros positivos mayores que $3.$

22 Un pastel con forma de triángulo equilátero de longitud de lado $5$ se corta en $25$ piezas triangulares equiláteras unitarias. Jacob selecciona dos lados distintos del pastel, y luego elige un punto independiente y uniformemente al azar en cada uno de los dos lados seleccionados. Corta a lo largo de la recta que pasa por estos dos puntos. Calcule el número esperado de piezas de pastel después de todos los cortes. A continuación hay un ejemplo del proceso, con los puntos siendo los puntos seleccionados y la línea punteada siendo el corte de Jacob. Este corte resulta en $32$ piezas. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/6/65da59a570f1972f7e950df56cc048f7d75174.png

23 Sea $\Gamma$ una esfera de radio $5.$ Sean $A, B, C,$ y $D$ puntos en $\Gamma$ tales que $AB=BC=CD=DA=8$ y $\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=\angle{DAB}.$ Calcule $AC.$

24 Dos ratones y $100$ piezas de queso están colocados uniforme e independientemente al azar en la frontera de un círculo. Cada ratón camina hacia la pieza de queso más cercana a él, con los empates resueltos independientemente al azar. Calcule la probabilidad de que los dos ratones caminen hacia la misma pieza de queso.

25 Sea $p(x)$ el único polinomio de grado a lo sumo $8$ y con coeficientes racionales tal que $p(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}) = \sqrt[3]{6}.$ Calcule $p(1).$

26 Marin está realizando un camino aleatorio sobre una recta. Para cada entero $n$ desde $1$ hasta $10,$ inclusive y en orden, Marin da un paso de longitud $F_n$ hacia la izquierda o hacia la derecha con igual probabilidad, donde $F_n$ es el $n$ -ésimo número de Fibonacci. Calcule la distancia esperada de Marin desde su punto de partida. (Los números de Fibonacci se definen por $F_1=F_2=1$ y la recurrencia $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$ para todo $n \ge 3.$ )

27 Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que \begin{align*} \sqrt{ab+1}+\sqrt{ca+1} &= 2a, \\ \sqrt{bc+1} + \sqrt{ab+1} &= 3b, \\ \sqrt{ca+1}+\sqrt{bc+1} &= 5c. \end{align*} Calcule $a.$

28 Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle{BAC}=105^\circ, AB=12\sqrt{2},$ y $AC=17.$ Sea $P$ un punto tal que $P$ y $A$ están en lados diferentes de la recta $BC,$ y $\angle{APB} = \angle{APC} = 60^\circ.$ Calcule $AP.$

30 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=60, AC=67,$ y $BC=69.$ La circunferencia inscrita $\\omega$ del triángulo $ABC$ toca a los lados $\overline{BC}, \overline{CA},$ y $\overline{AB}$ en $D, E,$ y $F,$ respectivamente. Sea $D'$ el punto diametralmente opuesto a $D$ en $\omega.$ La cuerda común de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BD'F$ y $CD'E$ interseca a la recta $BC$ en $X.$ Calcule $BX.$

31 Sea $\zeta = \cos \tfrac{2\pi}{19} + i \sin \tfrac{2\pi}{19}.$ Se sabe que el polinomio $x^3+16x^2+3x-229$ tiene tres raíces reales distintas, y su mayor raíz puede escribirse de manera única en la forma $$a_1 \zeta + a_2 \zeta^2 + \ldots + a_{18} \zeta^{18}$$ para algunos números racionales $a_1, \ldots, a_{18}.$ Calcule $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{18}^2.$