1 Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinas (solo una vecina para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinas para los demás $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – en caso contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda, que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas se apagarán eventualmente. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

1 En el plano se nos dan dos circunferencias que se intersecan en $ X$ y $ Y$ . Demuestra que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: (P) Para toda circunferencia que toque las dos circunferencias dadas en $ A$ y $ B$ , y que corte a la recta $ XY$ en $ C$ y $ D$ , cada una de las rectas $ AC$ , $ AD$ , $ BC$ , $ BD$ pasa por uno de estos puntos.

1 Sean \( A,B,C,D \) cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos con diámetros \( AC \) y \( BD \) se intersecan en \( X \) y \( Y \). La recta \( XY \) corta a \( BC \) en \( Z \). Sea \( P \) un punto sobre la recta \( XY \) distinto de \( Z \). La recta \( CP \) interseca al círculo con diámetro \( AC \) en \( C \) y \( M \), y la recta \( BP \) interseca al círculo con diámetro \( BD \) en \( B \) y \( N \). Demuestra que las rectas \( AM, DN, XY \) son concurrentes.

C1 Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lados enteras impares está dividido en rectángulos pequeños con longitudes de lados enteras. Demuestre que hay al menos uno entre los rectángulos pequeños cuyas distancias a los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares. Propuesto por Jeck Lim, Singapur

G1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AC<BD<AD$ y $\angle DBA<90^\circ$ . El punto $E$ se encuentra sobre la recta que pasa por $D$ paralela a $AB$ , de modo que $E$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $AC=DE$ . El punto $F$ se encuentra sobre la recta que pasa por $A$ paralela a $CD$ , de modo que $F$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $BD=AF$ . Demuestre que las mediatrices de los segmentos $BC$ y $EF$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Ucrania

1 Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$ , $t_2$ , ..., $t_n$ números reales positivos tales que \[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] Demuestre que $t_i$ , $t_j$ , $t_k$ son las longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$ , $j$ , $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$ . darij

¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez $2003 \times 2003$ (sin superposiciones) usando solo fichas de dominó horizontales $1 \times 2$ y solo trominós verticales $3 \times 1$?

1 Halle el mayor entero posible $k$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Sean dados $2009$ triángulos no degenerados arbitrarios. En cada triángulo los tres lados están coloreados, de modo que uno es azul, uno es rojo y uno es blanco. Ahora, para cada color por separado, ordenemos las longitudes de los lados. Obtenemos \[ \left. \begin{array}{rcl} & b_1 \leq b_2\leq\ldots\leq b_{2009} & \textrm{the lengths of the blue sides }\\ & r_1 \leq r_2\leq\ldots\leq r_{2009} & \textrm{the lengths of the red sides }\\ \textrm{and } & w_1 \leq w_2\leq\ldots\leq w_{2009} & \textrm{the lengths of the white sides }\\ \end{array}\right.\] Entonces existen $k$ índices $j$ tales que podemos formar un triángulo no degenerado con longitudes de lados $b_j$ , $r_j$ , $w_j$ . Propuesto por Michal Rolinek, República Checa

G1 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$ , $\angle{EAB}=\angle{BCD}$ y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$ . Demuestre que la recta perpendicular desde $E$ a $BC$ y los segmentos de recta $AC$ y $BD$ son concurrentes.

C8 Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en una pizarra que inicialmente contiene 2020 copias del número 1 . En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x$ y $y$ de la pizarra, y luego el jugador $B$ escribe en la pizarra uno de los números $x+y$ y $|x-y|$ . El juego termina tan pronto como, al final de alguna ronda, se cumple una de las siguientes condiciones: $(1)$ uno de los números de la pizarra es mayor que la suma de todos los demás números; $(2)$ en la pizarra solo hay ceros. El jugador $B$ debe entonces dar al jugador $A$ tantas galletas como números haya en la pizarra. El jugador $A$ quiere obtener tantas galletas como sea posible, mientras que el jugador $B$ quiere dar las menos posibles. Determine el número de galletas que recibe $A$ si ambos jugadores juegan de manera óptima.