Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle FAB = \angle CDE = 90^\circ$ y el cuadrilátero $BCEF$ es cíclico. Demuestre que $$AD \leq BC + FE.$$

Emilio y Mariano juegan en un tablero de $13 \times 13$ de la siguiente manera: Emilio elige $k$ casillas del borde del tablero y colorea cada una de negro o de blanco. Luego, Mariano colorea de negro o de blanco cada una de las $(169 - k)$ casillas restantes. Si después de colorear todas las casillas Emilio encuentra un sub-tablero de $2 \times 2$ con un número impar de casillas negras, gana; en caso contrario, gana Mariano. Determine el menor $k$ para el cual Emilio tiene una estrategia ganadora.

Para cada entero positivo $n$ , sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos no divisibles por $10$ . $a)$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que $S(c \cdot a) \neq S(c \cdot b)$ . $b)$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que $S(c \cdot a) > S(c \cdot b)$ .

Se da un triángulo agudo $ABC$, en el cual $AB<AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios del arco mayor $BC$ y del arco menor $BC$ de $\Omega$, respectivamente. Los puntos $X\ne M$ y $Y\ne N$ están sobre la recta $AM$ y satisfacen $BX=BM=CM=CY$. Sea $E$ un punto sobre $AC$ tal que $BE$ y $AC$ son perpendiculares. Demuestra que $\angle FNX=\angle YNE$.

Se dan un entero positivo $l$ y números reales positivos $a_1, a_2, ..., a_l$. Para todo entero positivo $n$ definimos $$ c_n=\sum_{k_1+k_2+...+k_l=n}\frac{(2n)!}{(2k_1)!(2k_2)!...(2k_l)!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}...a_l^{k_l}. $$ Demuestra que para todo entero positivo $n$ se cumple la desigualdad $\sqrt[n]{c_n}\leq \sqrt[n+1]{c_{n+1}}$.

Diremos que un subconjunto $A$ del conjunto de los enteros no negativos es $cool$ si existe un entero $k$ tal que para todo entero $n\geq k$ existe exactamente un par de enteros $a>b$ de $A$ tal que $n=a+b$. Decide si existe un conjunto $cool$.

1 Determina todos los enteros \(n\ge 2\) con la siguiente propiedad: existen números reales no nulos \(x_1, x_2, \ldots, x_n, y\) tales que \[(x_1+x_2+\ldots+x_k)(x_{k+1}+x_{k+2}+\ldots+x_n)=y\] para todo \(k\in\{1,2,\ldots,n-1\}\).

2 Determina todos los enteros \(n\ge 2\) con la siguiente propiedad: el número \(2^k\cdot n-1\) es primo para todo \(k\in\{2,3,\ldots,n\}\).

3 Sea $P$ un punto dentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $\angle BPC=90^\circ$. Construimos los triángulos $AQB$ y $ARC$, fuera del triángulo $ABC$, de modo que $\angle ABQ = \angle PBC$, $\angle QAB = \angle PAC$, $\angle RCA = \angle PCB$, y $\angle CAR = \angle BAP$. Demuestra que $P$, $Q$, $R$ son colineales.

1 Considere un triángulo $\triangle ABC$ y un punto $X$ sobre $BC$ . La perpendicular desde $X$ a $AB$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle AXC$ en $P$ , y la perpendicular desde $X$ a $AC$ corta a la circunferencia circunscrita de $\triangle AXB$ en $Q$ . Demuestre que la recta $PQ$ no depende de la elección de $X$ . (Shining Sun, USA)