4 ¿Cuál es el mayor número de casillas que se pueden colorear en una tabla de $7\times7$ de manera que cualquier subtabla de $2\times2$ tenga a lo sumo 2 casillas coloreadas?

5 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AB$. Se construye un semicírculo $\Gamma$ con su centro sobre el segmento $AB$ y que es tangente a los dos lados, $AC$ y $BC$. Considera una recta tangente a $\Gamma$ que corta a los segmentos $AC$ y $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. La recta perpendicular a $AC$ en $D$ y la recta perpendicular a $BC$ en $E$ se intersectan en $P$. Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$. Muestra que $\frac{PQ}{CP}=\frac{1}{2}\frac{AB}{AC}$.

3. El punto \( I_1 \) es el reflejo del incentro \( I \) del triángulo \( ABC \) respecto al lado \( BC \). La circunferencia de \( BCI_1 \) corta a la recta \( II_1 \) nuevamente en el punto \( P \). Se sabe que \( P \) está fuera de la circunferencia inscrita del triángulo \( ABC \). Las dos tangentes trazadas desde \( P \) a esta última circunferencia la tocan en los puntos \( X \) y \( Y \). Demuestra que la recta \( XY \) contiene una mediana del triángulo \( ABC \). Autor: L. Emelyanov

4 Un grupo de personas se llama bueno si sus miembros pueden distribuirse en varias habitaciones de modo que nadie conozca a ninguna persona en la misma habitación, pero sea posible elegir una persona de cada habitación de modo que todas las personas elegidas se conozcan entre sí. Un grupo se llama perfecto si es bueno y todo subconjunto de sus miembros también es bueno. Un grupo perfecto planeó una fiesta. Sin embargo, uno de sus miembros, Alicia, trajo a su conocido Bob, que no estaba originalmente previsto, y lo presentó a todos sus otros conocidos. Demuestra que el nuevo grupo también es perfecto. Autor: C. Berge

4 Punto $ I_1$ es el reflejo del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ respecto al lado $ BC$ . La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ interseca la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$ . Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$ . Las dos tangentes trazadas desde $ P$ a dicha circunferencia la tocan en los puntos $ X$ y $ Y$ . Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$ . Autor: L. Emelyanov

3 100 cuadrados unitarios de un plano cuadriculado infinito forman un cuadrado de $10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados se colorean con varios colores. Se sabe que el borde de todo cuadrado con lados sobre las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de a lo sumo dos colores. (Dicho cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $10\times 10$). ¿Cuál es el número máximo de colores que puede aparecer en esta coloración? Autor: S. Berlov

6 Sea $ ABCD$ un trapecio isósceles con $ AD \parallel BC$ . Sus diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersectan en el punto $ M$ . Los puntos $ X$ y $ Y$ sobre el segmento $ AB$ son tales que $ AX = AM$ , $ BY = BM$ . Sea $ Z$ el punto medio de $ XY$ y $ N$ el punto de intersección de los segmentos $ XD$ y $ YC$ . Demuestra que la recta $ ZN$ es paralela a las bases del trapecio. Autor: A. Akopyan, A. Myakishev

Se eligen 250 números entre los enteros positivos que no exceden 501. Demuestra que para todo entero \( t \) hay cuatro números elegidos \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \), \( a_4 \), tales que \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - t \) es divisible por 23. Autor: K. Kokhas

1 Retratos de científicos famosos cuelgan en una pared. Los científicos vivieron entre 1600 y 2008, y ninguno vivió más de 80 años. Vasya multiplicó los años de nacimiento de estos científicos, y Petya multiplicó los años de su muerte. El resultado de Petya es exactamente $ 5\over 4$ veces mayor que el resultado de Vasya. ¿Cuál es el número mínimo de retratos que puede haber en la pared? Autor: V. Frank

5 Un cargador tiene un vagón y una carretilla. El vagón puede cargar hasta 1000 kg, y la carretilla solo hasta 1 kg. En un almacén hay una cantidad finita de sacos de arena. Se sabe que su peso total es mayor que 1001 kg, mientras que cada saco pesa a lo más 1 kg. ¿Cuál es el peso máximo de arena que el cargador puede llevar en el vagón y la carretilla, sin importar los pesos particulares de los sacos? Autor: M. Ivanov, D. Rostovsky, V. Frank