4 Sea ABCD un cuadrilátero cíclico en el cual AB = BC y AD =CD. El punto M está sobre el arco menor CD de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero. Las rectas BM y CD se intersecan en el punto P, y las rectas AM y BD se intersecan en el punto Q. Demuestre que PQ es paralela a AC.

1 Todos los puntos del plano están coloreados con $n$ colores. En cada recta, hay puntos de no más de dos colores. ¿Cuál es el número máximo de colores?

2 Un triángulo acutángulo ABC está inscrito en una circunferencia C. Las tangentes en A y C a la circunferencia C se intersecan en F. La mediatriz del segmento AB interseca a la recta BC en E. Demuestre que las rectas FE y AB son paralelas.

3 ¿Existen enteros positivos $a, b, c$ , tales que los números $a^2bc+2, b^2ca+2, c^2ab+2$ sean cuadrados perfectos?

4 Demuestre que si $x, y, z$ son reales, entonces $x^2(3y^2+3z^2-2yz)=>yz(2xy+2xz-yz)$

3 Se da un tablero de ajedrez 8x8. Debemos colocar $n$ reinas negras y $n$ reinas blancas, de modo que no haya dos reinas que se ataquen. Halle el máximo $n$ posible. (Dos reinas se atacan entre sí cuando tienen colores diferentes. Las reinas del mismo color no se atacan entre sí)

4 Halle todos los enteros positivos $k>1$ , tales que exista un entero positivo $n$ , de modo que el número $A=17^{18n}+4.17^{2n}+7.19^{5n}$ sea producto de $k$ enteros positivos consecutivos.

2 Sean $a, b, c$ reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$ . Halle el valor mínimo de $S=1/a^2+1/b^2+1/c^2-2(a^3+b^3+c^3)/abc$

4 Un entero positivo $n$ se llama $nice$ , si la suma de los cuadrados de todos sus divisores positivos es igual a $(n+3)^2$ . Demuestre que si $n=pq$ es nice, donde $p, q$ son primos no necesariamente distintos, entonces $n+2$ y $2(n+1)$ son simultáneamente cuadrados perfectos.

2 El cuadrilátero ABCD está circunscrito a una circunferencia C y K, L, M, N son los puntos de tangencia de C con los lados AB, BC, CD, DA. Sea S el punto de intersección de las rectas KM y LN. Si el cuadrilátero SKBL es cíclico, demuestre que el cuadrilátero SNDM también es cíclico.