2 Cada celda de una cuadrícula de $2013\times2013$ contiene $1$ o $-1$ . Sea $A_{i}$ el producto de todos los números de la fila $i$ , y sea $B_{i}$ el producto de todos los números de la columna $i$ . ¿Puede la suma $\sum_{i=1}^{2013}(A_{i}+B_{i})$ ser igual a cero?

3 En el triángulo isósceles $ ABC $ $ (BC = AC) $ , sobre la bisectriz $ BN $ había un punto $ K $ tal que $ BK = KC $ y $ KN = NA $ . Halle los ángulos del triángulo $ ABC $ .

1 Un calendario digital muestra la fecha: día, mes y año, con $2$ dígitos para el día, $2$ dígitos para el mes y $2$ dígitos para el año. Por ejemplo, $01-01-01$ es el $1$ de enero de $2001$ y $05-25-23$ es el $25$ de mayo de $2023$. Frente al calendario hay un espejo. Los dígitos del calendario son como en la figura https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/5/a08a4e34071fff4d33b95b23690254f55b33e1.gif Si $0, 1, 2, 5$ y $8$ se reflejan, respectivamente, en $0, 1, 5, 2$ y $8$, y los demás dígitos pierden significado al reflejarse, determina cuántos días del siglo, al reflejarse en el espejo, también corresponden a una fecha.

2 Un rectángulo de papel de $3$ cm por $9$ cm se dobla a lo largo de una línea recta, haciendo que dos vértices opuestos coincidan. De esta manera se forma un pentágono. Calcula su área.

3 Sea $S(x)$ la suma de las cifras de un número natural $x$ en base $10$ . Demuestre que para cualquier número natural $n$ existen infinitos números naturales $x$ tales que $S(x^{2})=nS(x)$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ se tiene: $$xf(x+y)+yf(y-x) = f(x^2+y^2)\,.$$ Autor: Nikola Velov

Sean $p$ y $q$ números primos impares y $a$ un entero positivo tales que $p|a^q+1$ y $q|a^p+1$ . Demuestre que $p|a+1$ o $q|a+1$ . Autor: Nikola Velov

5 En algunos cuadrados de un tablero de $10 \times 10$, se coloca una pieza de tal manera que se cumple la siguiente propiedad: Para cada cuadrado que tiene una pieza, el número de piezas colocadas en la misma fila debe ser mayor o igual que el número de piezas colocadas en la misma columna. ¿Cuántas piezas puede haber en el tablero? Da todas las posibilidades.

1997.2 En el rectángulo \(ABCD\), \(M, N, P\) y \(Q\) son los puntos medios de los lados. Si el área del triángulo sombreado es \(1\), calcula el área del rectángulo \(ABCD\). https://2.bp.blogspot.com/-9iyKT7WP5fc/XNYuXirLXSI/AAAAAAAAKK4/10nQuSAYypoFBWGS0cZ5j4vn_hkYr8rcwCK4BGAYYCw/s400/may3.gif

1999.2 En un paralelogramo $ABCD$, $BD$ es la diagonal más larga. Al doblar haciendo coincidir $B$ con $D$, se forma un pentágono regular. Calcula las medidas de los ángulos que forma la diagonal $BD$ con cada uno de los lados del paralelogramo.