2 Halle todos los polinomios no nulos $P(x),Q(x)$ con coeficientes reales y de grado mínimo,tales que para todo $x \in \mathbb{R}$ : \[ P(x^2)+Q(x)=P(x)+x^5Q(x) \] chris!!!

3 Sea un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB<AC<BC$ , inscrito en la circunferencia $c(O,R)$ . La bisectriz $AD$ corta a $c(O,R)$ en $K$ . La circunferencia $c_1(O_1,R_1)$ ( que pasa por $A,D$ y tiene su centro $O_1$ sobre $OA$ ) corta a $AB$ en $E$ y a $AC$ en $Z$ . Si $M,N$ son los puntos medios de $ZC$ y $BE$ respectivamente, demuestre que: a) las rectas $ZE,DM,KC$ son concurrentes en un punto $T$ . b) las rectas $ZE,DN,KB$ son concurrentes en un punto $X$ . c) $OK$ es la mediatriz de $TX$ . chris!!!

4 El siguiente trapecio isósceles está formado por triángulos equiláteros iguales de lado $1$ . El lado $A_1E$ tiene longitud $3$ mientras que la base mayor $A_1A_n$ tiene longitud $n-1$ . Partiendo del punto $A_1$ nos movemos a lo largo de los segmentos que están orientados hacia la derecha y hacia arriba(oblicuamente a la derecha o a la izquierda). Calcule (en términos de $n$ o no) el número de todos los caminos posibles que podemos seguir, para llegar a los puntos $B,\Gamma,\Delta, E$ , si $n$ es un entero mayor que $3$ . [Need image] chris!!!

1 Resuelva en enteros la ecuación \[{x^3}{y^2}\left( {2y - x} \right) = {x^2}{y^4} - 36\]

2 En el plano cartesiano $Oxy$ consideramos los puntos ${A_1}\left( {40,1} \right), {A_2}\left( {40,2} \right), \ldots , {A_{40}}\left( {40,40} \right)$ así como los segmentos $O{A_1},O{A_2},\ldots,O{A_{40}}$ . Un punto del plano cartesiano $Oxy$ se llama "bueno", si sus coordenadas son enteras y es interior de uno de los segmentos $O{A_i}, i=1,2,3,\ldots,40$ . Además, uno de los segmentos $O{A_1},O{A_2},\ldots,O{A_{40}}$ se llama "bueno" si contiene un punto "bueno". Halle el número de segmentos "buenos" y de puntos "buenos".

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos con suma $6$ . Halle el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{{{a^2} + 2bc}} + \sqrt[3]{{{b^2} + 2ca}} + \sqrt[3]{{{c^2} + 2ab}}.\]

4 Consideramos un triángulo acutángulo $ABC$ (con $AB<AC$ ) y su circunferencia circunscrita $c(O,R) $ ( con centro $O$ y radio $R$ ) .La altura $AD$ corta a la circunferencia circunscrita en el punto $E$ ,mientras que la mediatriz $(m)$ del segmento $AB$ corta a $AD$ en el punto $L$ . $BL$ corta a $AC$ en el punto $M$ y a la circunferencia circunscrita $c(O,R)$ en el punto $N$ . Finalmente $EN$ corta a la mediatriz $(m)$ en el punto $Z$ . Demuestre que: \[ MZ \perp BC \iff \left(CA=CB \;\; \text{or} \;\; Z\equiv O \right) \] chris!!!

1 Resuelva en los enteros la ecuación diofántica $$x^4-6x^2+1 = 7 \cdot 2^y.$$

2 Si $ x,y$ son números reales positivos con suma $ 2a$ , demuestre que : $ x^3y^3(x^2+y^2)^2 \leq 4a^{10}$ ¿Cuándo se da la igualdad ? Babis

4 En el plano se dan $ k+n$ rectas distintas , donde $ k>1$ es un entero y $ n$ también es un entero.Cualesquiera tres de estas rectas no pasan por el mismo punto . Entre estas rectas exactamente $ k$ son paralelas y todas las otras $ n$ rectas se intersectan entre sí.Todas las $ k+n$ rectas definen en el plano una partición en regiones triangulares , poligonales o no acotadas. Dos regiones se llaman diferentes, si no tienen puntos comunes o si tienen puntos comunes solo en su frontera.Una región se llama ''buena'' si está contenida en una zona entre dos rectas paralelas . Si en una configuración dada el número mínimo de regiones ''buenas'' es $ 176$ y el número máximo de estas regiones es $ 221$ , halle $ k$ y $ n$ . Babis