1 Sea $ABCD$ un trapecio tal que $|AC|=8$ , $|BD|=6$ , y $AD \parallel BC$ . Sean $P$ y $S$ los puntos medios de $[AD]$ y $[BC]$ , respectivamente. Si $|PS|=5$ , halle el área del trapecio $ABCD$ .

1 $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ son triángulos acutángulos. Describa, y demuestre, cómo construir el triángulo $ABC$ de área máxima posible que está circunscrito a $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contiene a $B_0, CA$ contiene a $B_0$ , y $AB$ contiene a $C_0$ ) y es semejante a $A_1B_1C_1.$

2 Sea $ABCD$ un tetraedro regular. A un punto arbitrario $M$ sobre una arista, digamos $CD$ , le corresponde el punto $P = P(M)$ que es la intersección de dos rectas $AH$ y $BK$ , trazadas desde $A$ ortogonalmente a $BM$ y desde $B$ ortogonalmente a $AM$ . ¿Cuál es el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ varía ?

3 ¿Qué polígono regular se puede obtener (y cómo) cortando un cubo con un plano ?

4 Halle los valores del parámetro $u$ para los cuales la expresión \[y = \frac{ \tan(x-u) + \tan(x) + \tan(x+u)}{ \tan(x-u)\tan(x)\tan(x+u)}\] no depende de $x.$

1 Demuestre que un tetraedro con una sola arista de longitud mayor que $1$ tiene volumen a lo sumo $ \frac{1}{8}.$

2 Demuestre esta proposición: El centro de la esfera circunscrita a un tetraedro coincide con el centro de una esfera inscrita en ese tetraedro si y solo si las aristas opuestas del tetraedro son iguales.

3 Demuestre que para números positivos arbitrarios se cumple la siguiente desigualdad \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{a^8 + b^8 + c^8}{a^3b^3c^3}.\]

4 ¿Existe un entero tal que su cubo sea igual a $3n^2 + 3n + 7,$ donde $n$ es un entero ?

5 Demuestre que un triángulo cuyos ángulos $A$ , $B$ , $C$ satisfacen la igualdad \[ \frac{\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C}{\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C} = 2 \] es un triángulo rectángulo.