6 Decide si es posible elegir $330$ puntos en el plano de manera que entre todas las distancias que se forman entre dos de ellos haya al menos $1700$ que sean iguales.

15 Una tira larga y delgada de papel mide 1024 unidades de largo, 1 unidad de ancho, y está dividida en 1024 cuadrados unitarios. El papel se dobla por la mitad repetidamente. Para el primer doblez, el extremo derecho del papel se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él. El resultado es una tira de 512 por 1 de doble grosor. Luego, el extremo derecho de esta tira se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él, resultando en una tira de 256 por 1 de cuádruple grosor. Este proceso se repite 8 veces más. Después del último doblez, la tira se ha convertido en una pila de 1024 cuadrados unitarios. ¿Cuántos de estos cuadrados quedan debajo del cuadrado que originalmente era el cuadrado número 942 contando desde la izquierda?

2 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que \[\sum_{k=1}^{n}[\alpha^{k}F_{k}+\frac{1}{2}]=F_{2n+1}\; \forall n>1.\] N.T.TUAN

2 Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una sucesión infinita arbitraria de números positivos. Demuestra que la desigualdad $1 + a_n > a_{n-1} \sqrt[n]{2}$ se cumple para una infinidad de enteros positivos $n$.

2 El triángulo $ABC$ es tal que $\angle BAC=30^{\circ},\angle ABC=45^{\circ}$ . Demuestre que si $X$ se encuentra en el rayo $AC$ , $Y$ se encuentra en el rayo $BC$ y $OX=BY$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , entonces $S_{XY}$ pasa por un punto fijo. Emil Kolev

2 Halle el menor número real $m$ tal que con cualesquiera $5$ triángulos equiláteros cuya suma de áreas sea $m$ se pueda cubrir un triángulo equilátero de lado 1. O. Mushkarov, N. Nikolov

4 Encuentra el área de la región encerrada por la gráfica de $|x-60|+|y|=|x/4|.$

B3 El movimiento de las partículas de un fluido en el plano está especificado por las siguientes componentes de la velocidad $$\frac{dx}{dt}=y+2x(1-x^2 -y^2),\;\; \frac{dy}{dt}=-x.$$ Dibuja la forma de las trayectorias cerca del origen. Discute qué le sucede a una partícula individual cuando $t\to \infty$, y justifica tu conclusión.

B2 Evalúa la serie doble $$\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-3k -j -(k+j)^{2}}.$$

4 Dado un triángulo $ABC$ , se construyen tres triángulos equiláteros $AEB, BFC$ , y $CGA$ en el exterior de $ABC$ . Demuestre que: $(a) CE = AF = BG$ ; $(b) CE, AF$ , y $BG$ tienen un punto común. No pude encontrar un tema separado para esta pregunta y necesito uno. http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point por supuesto.