1 Para una función no constante $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ demuestre que existen números reales $x,y$ que satisfacen $f(x+y)<f(xy)$

2 En una exposición hay $100$ pinturas, cada una de las cuales está hecha con exactamente $k$ colores. Halle el valor mínimo posible de $k$ si cualesquiera $20$ pinturas tienen un color en común, pero no hay ningún color que se use en todas las pinturas.

1 Demuestre que para números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $a+b+c+abc=4$ , \[\left (1+\dfrac{a}{b}+ca \right )\left (1+\dfrac{b}{c}+ab \right)\left (1+\dfrac{c}{a}+bc \right) \ge 27\] se cumple.

4 $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Los puntos $D$ y $E$ están en el segmento $BC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ interseca a los segmentos $AD$ , $AE$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que si $BD^2+CD^2=2DP\cdot DA$ y $BE^2+CE^2=2EQ\cdot EA$ , entonces $BP=CQ$ .

3 Halle todos los pares $(p,n)$ tales que $p$ es un número primo, $n$ es un entero positivo y \[p^3-2p^2+p+1=3^n \] se cumple.

4 Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el punto medio del segmento $BC$ . La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AB$ en $B$ , y la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $C$ se intersecan en $M\neq D$ . Sea $M'$ el reflejo de $M$ con respecto a $BC$ . Demuestre que $M'$ está sobre $AD$ .

3 Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$ . Muestre que \[ \frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{a^3+b^2+c^3}+\frac{c}{a^3+b^3+c^2} \geq 1 \]

4 Queremos colocar $2012$ bolsillos, que contienen bolas de diversos colores, en $k$ cajas de modo que i) Para cualquier caja, todos los bolsillos de esta caja deben contener una bola del mismo color, o ii) Para cualquier caja, todos los bolsillos de esta caja deben contener una bola de un color que no esté incluido en ningún otro bolsillo de esta caja. Halle el menor valor de $k$ para el cual siempre podemos hacer esta colocación, cualquiera sea el número de bolas en los bolsillos y cualesquiera sean los colores de las bolas.

1 Muestre que \[1 \leq \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \leq \frac98\] se cumple para todos los números reales positivos $x,y$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo con $|AB|=|AC|$ . $D$ es el punto medio de $[BC]$ . $E$ es el pie de la altura trazada desde $D$ hasta $AC$ . $BE$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $B$ y $F$ . $DE$ y $AF$ se intersecan en $G$ . Demuestre que $|DG|=|GE|$