1 De la ciudad $A$ a la ciudad $B$ , $2025$ camiones parten a intervalos de tiempo iguales, cada uno transportando $2026$ kg de arroz. De manera similar, de la ciudad $B$ a la ciudad $A$ , $2026$ camiones parten a los mismos intervalos, cada uno transportando $2025$ kg de trigo. Cada vez que dos camiones se encuentran, intercambian completamente sus cargas; durante el intercambio, exactamente $1$ kg de cada tipo de grano se derrama al suelo. Después del intercambio, ambos camiones dan la vuelta y continúan moviéndose. Todo camión que sale de una ciudad ( $A$ o $B$ ) eventualmente regresa a la misma ciudad y termina su recorrido. Suponga que todos los camiones tienen la misma velocidad, los intercambios son instantáneos, y en algún momento todos los camiones están simultáneamente entre las ciudades $A$ y $B$ . Después de que el último camión termina su recorrido, ¿cuántos kilogramos de arroz y de trigo hay en cada ciudad?

2 Sea $n \ge 3$ un entero, y sea $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ un conjunto de $n$ números reales positivos distintos dos a dos. Se sabe que para todo $1 \le i \le n$ , existen índices $j \ne k \ne i$ tales que \[ a_i = 1 + \frac{a_j}{a_k}. \] (Demuestre que todos los $a_i,a_j,a_k$ son distintos.) Demuestre que el conjunto contiene dos números cuya suma es mayor que $4$ . Comentario: Como resultó más tarde, no existen sucesiones que satisfagan la condición del problema. Demostrando esto, también puede obtener 7 puntos.

3 En un triángulo escaleno acutángulo $ABC$ , se trazan las alturas $BD$ y $CE$ . Sobre la recta $DE$ , se eligen los puntos $P$ y $Q$ tales que $PC \perp BC$ y $QB \perp BC$ . Sea $A_1$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que el punto $A_1$ está sobre la recta que contiene la cuerda común de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDQ$ y $CEP$ .

4 Sean $a,b,n$ enteros. Suponga que los números $b^2 - ab$ y $a^2$ son divisibles por $n$ . Demuestre que el número \[ a^5 + ab^4 + b^5 \] también es divisible por $n$ .

5 Se dan dos circunferencias que no se intersecan $\omega_1$ y $\omega_2$ . Los segmentos $AB$ y $CD$ son tangentes externas comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ (con $A,C \in \omega_1$ y $B,D \in \omega_2$ ) . La recta $CB$ interseca nuevamente a $\omega_1$ en el punto $P$ , y la recta $AD$ interseca nuevamente a $\omega_2$ en el punto $Q$ . Demuestre que la tangente a $\omega_1$ en $P$ y la tangente a $\omega_2$ en $Q$ se intersecan sobre la recta $AB$ .

6 Un tablero de ajedrez infinito está coloreado de blanco y negro en el patrón estándar de tablero de ajedrez. De él se recorta un poliominó conexo que consta de $25$ celdas blancas y $25$ celdas negras, tal que cualquier celda de la figura se puede alcanzar desde cualquier otra moviéndose solo a través de celdas de la figura y solo por lados comunes (no en diagonal). ¿Cuál es el número máximo de dominós (rectángulos de tamaño $1\times2$ o $2\times1$ ) que se puede garantizar recortar de esta figura?

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $x,y$ se cumple la igualdad \[ f(f(y)+x-y)+f(x-y)=f(xf(y)-y) \] . (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.)

2 Llame maravilloso a un entero si se puede representar como la suma de los cuadrados de dos enteros. Considere un conjunto formado por $n$ enteros consecutivos. Si todo elemento de este conjunto es maravilloso, llamamos a tal conjunto un superconjunto . Halle el mayor número natural $n$ para el cual existen infinitos superconjuntos formados por $n$ elementos.

3 Por el vértice $C$ del triángulo $ABC$ se traza una recta $\ell$ paralela a $AB$ . Una circunferencia con centro $O_1$ es tangente a $\ell$ , $AB$ y al segmento $AC$ , y una circunferencia con centro $O_2$ es tangente a $\ell$ , $AB$ y al segmento $BC$ , estando ambas circunferencias dentro del triángulo $ABC$ . Sobre el segmento $AB$ se elige un punto $N$ tal que $\angle AO_1N=\angle BO_2N$ . La bisectriz del ángulo $\angle ACB$ interseca las rectas $O_1N$ y $O_2N$ en los puntos $M$ y $K$ , respectivamente. Demuestre que el punto medio de $AB$ es el circuncentro del triángulo $MNK$ .

4 ¿Es posible colocar los $64$ enteros consecutivos en las celdas de un tablero de $8\times 8$ (un número por celda) de modo que en todo tetrominó en forma de T la suma de los cuatro números sea divisible por $7$ ? (Un tetrominó en forma de T es una figura con forma de T que consta de $4$ celdas.) [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); path p=(0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(3,1)--(3,0)--cycle; path[] pp=(1,0)--(1,1)^^(1,1)--(2,1)^^(2,1)--(2,0); draw(pp, linewidth(0.1bp)); draw(p); draw(shift(7,2)*rotate(180)*pp, linewidth(0.1bp)); draw(shift(7,2)*rotate(180)*p); draw(shift(10,0)*rotate(90)*pp, linewidth(0.1bp)); draw(shift(10,0)*rotate(90)*p); draw(shift(11,3)*rotate(-90)*pp, linewidth(0.1bp)); draw(shift(11,3)*rotate(-90)*p); [/asy]