Demuestre que para $n\ge5$ el lado del $n$ -ágono regular inscriptible es mayor que el lado del $n+1$ -ágono regular circunscrito alrededor de la misma circunferencia, y que si $n\le4$ es verdadera la afirmación contraria.

Demuestre que si la suma de $x^5,y^5$ y $z^5$ , donde $x,y$ y $z$ son números enteros, es divisible por $25$ , entonces la suma de algunos dos de ellos es divisible por $25$ .

En un tablero de ajedrez (con $64$ casillas) están situados $32$ peones blancos y $32$ peones negros. Decimos que dos peones forman un par mixto cuando son de colores diferentes y se encuentran en la misma fila o columna. Halle el máximo y el mínimo de pares mixtos para todas las disposiciones posibles de los peones. K. Dochev

Demuestre la igualdad $$\prod_{k=1}^{2m}\cos\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{(-1)^m}{4m}.$$

Se da que $r=\left(3\left(\sqrt6-1\right)-4\left(\sqrt3+1\right)+5\sqrt2\right)R$ donde $r$ y $R$ son los radios de las esferas inscrita y circunscrita en una pirámide regular de $n$ lados. Si se sabe que los centros de las esferas dadas coinciden, (a) halle $n$ ; (b) si $n=3$ y todas las aristas miden a , halle los volúmenes de las partes de la pirámide después de trazar un plano $\mu$ que interseca dos de las aristas que pasan por el punto $A$ respectivamente en los puntos $E$ y $F$ de tal manera que $|AE|=p$ y $|AF|=q$ $(p<a,q<a)$ , e interseca la prolongación de la tercera arista detrás de la cara opuesta al vértice $A$ en el punto $G$ de tal manera que $|AG|=t$ $(t>a)$ .

Halle todos los valores naturales de $k$ para los cuales el sistema $$\begin{cases}x_1+x_2+\ldots+x_k=9\\\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_k}=1\end{cases}$$ tiene soluciones en números positivos. Halle estas soluciones. I. Dimovski

Halle todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la desigualdad $$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y)$$ para todos los reales $x,y$ . Demuestre que exactamente dos de ellas son continuas. I. Dimovski

Demuestre que un coeficiente binomial $\binom nk$ es impar si y solo si todos los dígitos $1$ de $k$ , cuando $k$ está escrito en binario, están en las mismas posiciones cuando $n$ está escrito en binario. I. Dimovski

Sobre la recta $g$ se dan el segmento $AB$ y un punto $C$ que no está en $AB$ . Demuestre que en $g$ existe al menos un par de puntos $P,Q$ simétricos con respecto a $C$ , que dividen el segmento $AB$ interna y externamente en las mismas razones, es decir $$\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}\qquad(1)$$ Si $A,B,P,Q$ son puntos de la recta $g$ que satisfacen $(1)$ , demuestre que el punto medio $C$ del segmento $PQ$ es el punto externo para el segmento $AB$ . K. Petrov

El punto $M$ está en el interior del tetraedro $ABCD$ y los puntos de intersección de las rectas $AM,BM,CM$ y $DM$ con las caras opuestas se denotan con $A_1,B_1,C_1,D_1$ respectivamente. Se da también que las razones $\frac{MA}{MA_1}$ , $\frac{MB}{MB_1}$ , $\frac{MC}{MC_1}$ y $\frac{MD}{MD_1}$ son iguales al mismo número $k$ . Halle todos los valores posibles de $k$ . K. Petrov