3 Para números $a,b \in \mathbb{R}$ consideramos los conjuntos: $$A=\{a^n | n \in \mathbb{N}\} , B=\{b^n | n \in \mathbb{N}\}$$ Halle todos los $a,b > 1$ para los cuales existen dos polinomios reales no constantes $P,Q$ con coeficientes principales positivos tales que para cada $r \in \mathbb{R}$ : $$ P(r) \in A \iff Q(r) \in B$$

1 En el triángulo $\triangle ABC$ , $I$ es el incentro y $M$ es el punto medio del arco $(BC)$ de la circunferencia circunscrita de $(ABC)$ que n o contiene a $A$ . Sea $X$ un punto arbitrario sobre la bisectriz exterior del ángulo $A$ . Sea $BX \cap (BIC) = T$ . $Y$ está sobre $(AXC)$ , distinto de $A$ , tal que $MA=MY$ . Demuestre que $TC || AY$ (Suponga que $X$ no está sobre $(ABC)$ ni sobre $BC$ )

2 En el triángulo $\triangle ABC$ , $M$ es el punto medio del arco $(BAC)$ y $N$ es el antípoda de $A$ en $(ABC)$ . La recta que pasa por $B$ perpendicular a $AM$ , corta a $AM , (ABC)$ en $D,P$ respectivamente y una recta que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ , corta a $BC,AC$ en $F,E$ respectivamente. Demuestre que $PE,MF,ND$ son concurrentes.

3 En el triángulo $\triangle ABC$ los puntos $M,N$ están sobre $BC$ tales que : $\angle BAM= \angle MAN= \angle NAC$ . Los puntos $P,Q$ están sobre la bisectriz del ángulo $BAC$ , en el mismo lado de $BC$ que A , tales que : $$\frac{1}{3} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BPC = \angle BQC$$ Sean $E = AM \cap CQ$ y $F = AN \cap BQ$ . Demuestre que las tangentes comunes a $(EPF), (EQF)$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ , son concurrentes.

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para todo $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ $$f(x+f(y)+f(f(z)))=z+f(y+f(x))$$

2 En el triángulo $ABC$ , los puntos variables $D, E, F$ están sobre los lados[rectas] $BC, CA, AB$ respectivamente, de modo que el triángulo $DFE$ es semejante al triángulo $ABC$ en ese orden. Las circunferencias circunscritas de $BDF$ y $CDE$ cortan respectivamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P$ y $Q$ por segunda vez. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $DPQ$ pasa por un punto fijo.

3 Tenemos muchos subconjuntos $\text{three-element}$ de un conjunto de $1000\text{-element}$ . Sabemos que la unión de cada $5$ de ellos tiene al menos $12$ elementos. Halle el mayor valor posible para el número de estos subconjuntos.

4 $a_1,a_2,\ldots$ es una sucesión de números enteros no nulos tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ , si $a_n=2^\alpha k$ donde $k$ es un entero impar y $\alpha$ es un entero no negativo entonces: $a_{n+1}=2^\alpha-k$ . Demuestre que si esta sucesión es periódica, entonces para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_{n+2}=a_n$ . (La sucesión $a_1,a_2,\ldots$ es periódica si y solo si existe un número natural $d$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ tenemos: $a_{n+d}=a_n$ )

5 Ali tiene $100$ cartas con los números $1,2,\ldots,100$ . Ali y Amin juegan juntos un juego. En cada paso, primero Ali elige una carta de las cartas restantes y Amin decide tomar esa carta para sí mismo o desecharla. En el caso de que tome la carta, no puede tomar la siguiente carta elegida por Amin, y tiene que desecharla. Esta acción se repite hasta que no quede ninguna carta para Ali. Amin quiere tomar cartas de modo que la suma de los números de sus cartas sea máxima y Ali quiere elegir cartas de modo que la suma de los números de las cartas de Amin sea mínima. Halle el mayor valor de $k$ tal que Amin pueda jugar de manera que esté seguro de que la suma de los números de sus cartas será al menos igual a $k$ .

6 Demuestre que entre cualesquiera $9$ números reales distintos, existen $4$ números distintos $a,b,c,d$ tales que $$(ac+bd)^2\ge\frac{9}{10}(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$