3 Los enteros positivos $ \alpha, \beta, \gamma$ son las raíces de un polinomio $ f(x)$ de grado $ 4$ cuyo coeficiente del primer término es $ 1$ . Si existe un entero tal que $ f(-1)=f^2(s)$ . Demuestre que $ \alpha\beta$ no es un cuadrado perfecto.

1 Sea $P_n(x)=a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ , con $n \geq 2$ , un polinomio de coeficientes reales. Demuestre que si existe $a > 0$ tal que \begin{align*} P_n(x) = (x + a)^2 \left( \sum_{i=0}^{n-2} b_i x^i \right), \end{align*} donde $b_i$ son números reales positivos, entonces existe algún $i$ , con $1 \leq i \leq n-1$ , tal que \[a_i^2 - 4a_{i-1}a_{i+1} \leq 0.\]

2 $ A_1$ , $ B_1$ y $ C_1$ son las proyecciones de los vértices $ A$ , $ B$ y $ C$ del triángulo $ ABC$ sobre los lados respectivos. Si $ AB = c$ , $ AC = b$ , $ BC = a$ y $ AC_1 = 2t AB$ , $ BA_1 = 2rBC$ , $ CB_1 = 2 \mu AC$ . Demuestre que: \[ \frac {a^2}{b^2} \cdot \left( \frac {t}{1 - 2t} \right)^2 + \frac {b^2}{c^2} \cdot \left( \frac {r}{1 - 2r} \right)^2 + \frac {c^2}{a^2} \cdot \left( \frac {\mu}{1 - 2\mu} \right)^2 + 16tr \mu \geq 1 \]

3 Sean $ p_i \geq 2$ , $ i = 1,2, \cdots n$ , $ n$ enteros tales que cualesquiera dos de ellos son primos entre sí. Sea: \[ P = \{ x = \sum_{i = 1}^{n} x_i \prod_{j = 1, j \neq i}^{n} p_j \mid x_i \text{es un entero no negativo}, i = 1,2, \cdots n \} \] Demuestre que el mayor entero $ M$ tal que $ M \not\in P$ es mayor que $ \displaystyle \frac {n - 2}{2} \cdot \prod_{i = 1}^{n} p_i$ , y halle además $ M$ .

1 Dado el triángulo $ ABC$ con $ AB=c$ , $ AC=b$ y $ BC=a$ que satisfacen $ a \geq b \geq c$ , $ BE$ y $ CF$ son dos bisectrices interiores. $ P$ es un punto interior del triángulo $ AEF$ . $ R$ y $ Q$ son las proyecciones de $ P$ sobre los lados $ AB$ y $ AC$ . Demuestre que $ PR + PQ + RQ < b$ .

2 Para cualesquiera dos números racionales $ p$ y $ q$ en el intervalo $ (0,1)$ y cualquier función $ f$ , siempre se cumple $ \displaystyle f \left( \frac{p+q}{2} \right) \leq \frac{f(p) + f(q)}{2}$ . Demuestre entonces que para cualesquiera números racionales $ \lambda, x_1, x_2 \in (0,1)$ siempre se cumple: \[ f( \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 ) \leq \lambda f(x_i) + (1-\lambda) f(x_2)\]

3 La sucesión $ \{ f_n(a) \}$ satisface $ \displaystyle f_{n+1}(a) = 2 - \frac{a}{f_n(a)}$ , $ f_1(a) = 2$ , $ n=1,2, \cdots$ . Si existe un número natural $ n$ tal que $ f_{n+k}(a) = f_{k}(a), k=1,2, \cdots$ , entonces llamamos al real no nulo $ a$ un $ \textbf{punto periódico}$ de $ f_n(a)$ . Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que $ a$ sea un $ \textbf{punto periódico}$ de $ f_n(a)$ es $ p_n(a-1)=0$ , donde $ \displaystyle p_n(x)=\sum_{k=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]} (-1)^k C_n^{2k+1}x^k$ ; aquí definimos $ \displaystyle \frac{a}{0}= \infty$ y $ \displaystyle \frac{a}{\infty} = 0$ .

1 Dado un entero positivo $ n$ , para todos los enteros positivos $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ que satisfacen $ a_1 = 1$ , $ a_{i + 1} \leq a_i + 1$ , halle $ \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_1a_2 \cdots a_i$ .

2 Las circunferencias $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se cortan en los puntos $ A$ y $ B.$ Los puntos $ C$ y $ D$ están sobre las circunferencias $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2},$ respectivamente, de modo que las rectas $ AC$ y $ AD$ son tangentes a las circunferencias $ \omega_{2}$ y $ \omega_{1},$ respectivamente. Sean $ I_{1}$ e $ I_{2}$ los incentros de los triángulos $ ABC$ y $ ABD,$ respectivamente. Los segmentos $ I_{1}I_{2}$ y $ AB$ se cortan en $ E$ . Demuestre que: $ \frac {1}{AE} = \frac {1}{AC} + \frac {1}{AD}$

3 Halle todas las quínuplas de enteros positivos $ (a,x,y,n,m)$ que satisfacen $ a(x^n - x^m) = (ax^m - 4) y^2$ , $ m \equiv n \pmod{2}$ y $ ax$ es impar.