Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2006 Problema 4
4 Una Figura Tetris es toda figura del plano que consiste en $4$ cuadrados unitarios unidos por sus lados (y que no se superponen). Dos Figuras Tetris son iguales si una puede rotarse en el plano para convertirse en la otra. a) Demuestre que existen exactamente $7$ Figuras Tetris diferentes. b) ¿Es posible llenar un rectángulo de $4 \times 7$ usando una vez cada una de las $7$ Figuras Tetris diferentes?
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2005 Problema 1
1 Los números reales no negativos $x, y, z$ satisfacen las siguientes relaciones: $3x + 5y + 7z = 10$ y $x + 2y + 5z = 6$ . Halle el mínimo y el máximo de $w = 2x - 3y + 4z$ .
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2005 Problema 2
2 Sea n un entero positivo. Demuestre la siguiente afirmación: "Si $2 + 2\sqrt{1 + 28n^2}$ es un entero, entonces es el cuadrado de un entero.
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2005 Problema 3
3 Los números racionales están escritos en la siguiente sucesión: $\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4}, . . .$ ¿En qué posición de esta sucesión se encuentra $\frac{2005}{2004}$ ?
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2005 Problema 4
4 La suma de los ángulos sobre la base mayor de un trapecio es $90^o$ . Demuestre que el segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las bases es igual al segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales.
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2004 Problema 1
1 En el conjunto de los enteros, resuelva la ecuación $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}$ , donde $p$ es un número primo.
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2004 Problema 2
2 Un rectángulo está dividido en $9$ rectángulos más pequeños. El área de cuatro de ellos es $5, 3, 9$ y $2$ , como en la figura siguiente. (La figura no está a escala.) https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/8/e/0ccd6f41073f776b62e9ef4522df1f1639ee31.png Determine el área mínima del rectángulo. ¿Bajo qué circunstancias se alcanza?
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2004 Problema 5
5 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AC = BC$ ) , $AB =\sqrt3$ y la altura $CD =\sqrt2$ . Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $BC$ y $DB$ , respectivamente, y $G$ la intersección de $AE$ y $CF$ . Demuestre que $D$ pertenece a la bisectriz del ángulo $\angle AGF$ .
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2003 Problema 1
1 Los números reales no nulos $a, b, c$ satisfacen la condición $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}= 0$ . Determine el valor de $w =\frac{3b + 2c}{6a}+\frac{2c + 6a}{3b}+\frac{6a + 3b}{2c}$ .
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Prueba de Selección de Equipos Junior de Bosnia y Herzegovina para la BMO 2003 Problema 2
2 Resuelva en el conjunto de los números racionales la ecuación $$2\sqrt{3(x + 1)^2} -3 \sqrt{2(y - 2)^2}= 4\sqrt2 + 5|\sqrt2 - \sqrt3|$$
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