9.6 Sean $x, y, A$ números reales que satisfacen $$A + 6x + 3y = 3 + 4x^2 + xy + 4x^2 y + y^2 + 2xy^2 + x^2 y^2.$$ Halle el valor mínimo posible de $A$ .

9.7 El producto de tres números naturales es un cubo de algún número natural, y las diferencias por pares de estos tres números son $4$ , $5$ y $9$ . Halle todos los valores posibles del menor de estos números.

9.8 Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ con centro $I$ , tangente a los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. La recta $DI$ corta a $\omega$ nuevamente en $G$ , y la recta $AG$ corta a $\omega$ nuevamente en $H$ . Sea $M$ la intersección del lado $BC$ con la tangente a $\omega$ en $H$ . Halle todos los valores posibles de la razón $BC : BM$ .

10.1 Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y sea $P$ un punto exterior a ella. Sobre la circunferencia se marca un punto $B$ tal que $O$ , $B$ y $P$ no son colineales. Sea $C$ el punto medio de $OB$ . Considere la circunferencia circunscrita del triángulo $PBC$ . Demuestre que, sin importar la elección de $B$ , todas estas circunferencias circunscritas pasan por un único punto distinto de $P$ .

10.2 En la rama izquierda de la hipérbola $y = \frac{1}{x}$ se eligen los puntos $A$ y $B$, y en la rama derecha se eligen los puntos $C$ y $D$. Se sabe que las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas. Sea $E$ la intersección de las rectas $AC$ y $BD$, y sea $O$ el origen. Demuestre que las pendientes de las rectas $OE$ y $AB$ son iguales en valor absoluto pero tienen signos opuestos.

10.3 Demuestre que existen infinitos números naturales $n$ tales que $$n = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2022}= b_1 \cdot b_2 \cdot \ldots \cdot b_{2022},$$ donde $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ son números naturales coprimos dos a dos, y $b_1, b_2, \ldots, b_{2022}$ son números naturales coprimos dos a dos, tales que $$a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_{2022}, \quad b_1 \ge b_2 \ge \ldots \ge b_{2022}, \quad a_1 > b_1, \quad \text{and} \quad a_1 + a_2 + \ldots + a_{2022} = b_1 + b_2 + \ldots + b_{2022}.$$

10.4 Encuentre todas las funciones $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$g(x + xy) + g(y) = g(x + y) + 2y g(x) + g(xy)$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

10.5 En una pizarra está escrito el número $$1234567891234567891234567$$. Dos jugadores se turnan para tachar dígitos. El jugador que, después de su jugada, no deje ningún dígito o forme un número divisible por 3, pierde. Determine quién gana (el primer o el segundo jugador) independientemente de las jugadas del oponente.

10.6 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1.$$ Demuestre que $$xyz + x^2 + y^2 + z^2 \ge 6(x + y + z).$$

10.7 Encuentre todos los pares de números enteros $(x, y)$ que satisfacen $$x(x^3 - y) = y^2 (y + 1)^2.$$