4 Sean $a, b, c$ números reales no negativos con $a + b + c \le 2$ . Demuestre que $$\sqrt{b^2+ac} + \sqrt{a^2+bc} + \sqrt{c^2+ab} \le 3$$

2004 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , sea $M$ el punto medio de su lado $AC$ , y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ . El círculo que pasa por los puntos $B$ , $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$ .

3 $n$ jugadores participaron en una competencia. Cualesquiera dos jugadores jugaron exactamente un juego, y no hubo empates. Para un conjunto de $k(\le n)$ jugadores, si es posible ordenar a los jugadores en una fila de modo que cada jugador haya vencido a todos los jugadores que están detrás de él, llamamos al conjunto ordenado . Para cada jugador que participó en la competencia, el conjunto de jugadores que perdieron contra ese jugador está ordenado. Demuestre que el conjunto completo de jugadores puede dividirse en tres conjuntos ordenados o menos.

15 Una tira larga y delgada de papel mide 1024 unidades de largo, 1 unidad de ancho, y está dividida en 1024 cuadrados unitarios. El papel se dobla por la mitad repetidamente. Para el primer doblez, el extremo derecho del papel se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él. El resultado es una tira de 512 por 1 de doble grosor. Luego, el extremo derecho de esta tira se dobla sobre el izquierdo de modo que coincida y quede encima de él, resultando en una tira de 256 por 1 de cuádruple grosor. Este proceso se repite 8 veces más. Después del último doblez, la tira se ha convertido en una pila de 1024 cuadrados unitarios. ¿Cuántos de estos cuadrados quedan debajo del cuadrado que originalmente era el cuadrado número 942 contando desde la izquierda?

7 Demuestre que para todo entero positivo $k,$ existen finitamente muchos conjuntos $T$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(1)T$ consta de finitamente muchos números primos; $(2)\textup{ }\prod_{p\in T} (p+k)$ es divisible por $ \prod_{p\in T} p.$

El número de $2024$ dígitos \[ 121212\ldots12 \] está escrito en una pizarra. Ana y Laura juegan por turnos el siguiente juego, moviendo Ana primero. En cada uno de sus turnos, Ana elige uno de los dígitos $1$ o $2$ . En el turno siguiente, Laura borra una ocurrencia del dígito elegido del número actualmente escrito en la pizarra. Determine el número más pequeño de turnos que Ana debe jugar para garantizar que el número que queda en la pizarra sea un palíndromo, sin importar cómo juegue Laura. Propuesto por Daniel Pinedo y Santiago Rodriguez

2010 TMO

4 En una conferencia internacional participan $n$ científicos $(n > 100)$ , donde se cumplen las siguientes condiciones: todo científico conoce al menos a otros 4 participantes, y todo conocimiento es mutuo. En ningún grupo de 4 científicos se conocen todos entre sí. Cualesquiera dos científicos que participan en la conferencia están conectados mediante una cadena de conocidos. El número mínimo de conocidos necesario para conectar a dos científicos mediante una cadena de participantes conocidos en la conferencia se llama la distancia entre los dos científicos. Si $d$ es la distancia máxima entre cualesquiera dos participantes de la conferencia, demuestre que $$d \leq \left\lceil \frac{4}{7}n \right\rceil + 3 .$$

2 Considere el triángulo $ABC$ con $AB<AC<BC$ , inscrito en la circunferencia $\Gamma_1$ , y las circunferencias $\Gamma_2 (B,AC)$ y $\Gamma_2 (C,AB)$ . Un punto común de las circunferencias $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ es el punto $E$ , un punto común de las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_3$ es el punto $F$ y un punto común de las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ es el punto $G$ , donde los puntos $E,F,G$ están en el mismo semiplano determinado por la recta $BC$ , en el que no se encuentra el punto $A$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $EFG$ está sobre la circunferencia $\Gamma_1$ . Nota: Con la notación $\Gamma (K,R)$ queremos decir que una circunferencia arbitraria $\Gamma$ tiene centro $K$ y radio $R$ .

3 En una escuela primaria había $94$ estudiantes en $7$ -ésimo grado. Algunos estudiantes participan en actividades extracurriculares: lengua española, lengua alemana y deportes. Lengua española la estudian $40$ estudiantes fuera del programa escolar, lengua alemana $27$ estudiantes y $60$ estudiantes hacen deportes. De los estudiantes que hacen deportes, $24$ de ellos también van a lengua española. $10$ estudiantes que estudian español también estudian alemán. $12$ estudiantes que estudian alemán también hacen deportes. Solo $4$ estudiantes van a las tres actividades. ¿Cuántos de ellos hacen solo una de las actividades, y cuántos de ellos no van a ninguna actividad?