1 Tenemos un grafo completo con $n$ vértices. Debemos colorear los vértices y las aristas de manera que: no haya dos aristas que incidan en el mismo vértice del mismo color; un vértice y una arista que incida en él estén coloreados de manera diferente. ¿Cuál es el número mínimo de colores que necesitamos?

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. (a) Halle el lugar geométrico de todos los puntos $P$ tales que, llamando $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ a los circuncentros de $PBC$ , $PAC$ , $PAB$ : \[\frac{ O_{a}O_{b}}{AB}= \frac{ O_{b}O_{c}}{BC}=\frac{ O_{c}O_{a}}{CA}\] (b) Para todos los puntos $P$ del lugar geométrico de (a), demuestre que las rectas $AO_{a}$ , $BO_{b}$ , $CO_{c}$ son concurrentes (en $X$ ) ; (c) Demuestre que la potencia de $X$ respecto de la circunferencia circunscrita de $ABC$ es: \[-\frac{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-5R^{2}}4\] Donde $a=BC$ , $b=AC$ y $c=AB$ .

3 Sea $p \geq 5$ un número primo. (a) Demuestre que existe un primo $q \neq p$ tal que $q| (p-1)^{p}+1$ (b) Factorizando en números primos $(p-1)^{p}+1 = \prod_{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}$ demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}p_{i}a_{i}\geq \frac{p^{2}}2 \]

1 Sea $S$ una cadena de $99$ caracteres, $66$ de los cuales son $A$ y $33$ son $B$ . Decimos que $S$ es buena si, para cada $n$ tal que $1\le n \le 99$ , la subcadena formada por los primeros $n$ caracteres de $S$ tiene un número impar de permutaciones distintas. ¿Cuántas cadenas buenas hay? ¿Cuáles cadenas son buenas?

2 Sea $ABC$ un triángulo, sea $H$ el ortocentro y $L,M,N$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CA$ respectivamente. Demuestre que \[HL^{2} + HM^{2} + HN^{2} < AL^{2} + BM^{2} + CN^{2}\] si y solo si $ABC$ es acutángulo.

3 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $m,n$ , \[f(m - n + f(n)) = f(m) + f(n).\]

1 Las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ se intersecan en los puntos $Q$ y $R$ y son tangentes interiormente a una circunferencia $\gamma$ en $A_1$ y $A_2$ respectivamente. Sea $P$ un punto arbitrario sobre $\gamma$ . Los segmentos $PA_1$ y $PA_2$ vuelven a cortar a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en $B_1$ y $B_2$ respectivamente. a) Demuestre que la tangente a $\gamma_{1}$ en $B_{1}$ y la tangente a $\gamma_{2}$ en $B_{2}$ son paralelas. b) Demuestre que $B_{1}B_{2}$ es la tangente común a $\gamma_{1}$ y $\gamma_{2}$ si y solo si $P$ está sobre $QR$ .

2 Sea $n$ un entero positivo, y sea $A_{n}$ el conjunto de todos los enteros positivos $a\le n$ tales que $n|a^{n}+1$ . a) Halle todos los $n$ tales que $A_{n}\neq \emptyset$ b) Halle todos los $n$ tales que $|{A_{n}}|$ es par y no nulo. c) ¿Existe algún $n$ tal que $|{A_{n}}| = 130$ ?

3 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes complejos tal que $P(0)\neq 0$ . Demuestre que existe un múltiplo de $P(x)$ con coeficientes reales positivos si y solo si $P(x)$ no tiene ninguna raíz real positiva.

1 Un curso de entrenamiento es asistido por $n \ge 4$ estudiantes. El día antes del examen final, cada grupo de tres estudiantes conspira contra otro estudiante para expulsarlo del examen. Demuestre que hay un estudiante contra el cual hay al menos $\sqrt[3]{(n-1)(n- 2)} $ conspiradores.